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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={1,2}A=\{1,2\}，B={1,a}B=\{1,a\}，且 A=BA=B，则 a=a=______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a→=(3,4)\overrightarrow{a}=(3,4)，b→=(1,2)\overrightarrow{b}=(1,2)，则 a→−2b→=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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03不等式★☆☆☆☆
若不等式 ∣x−1∣≤2\left|x-1\right|\le 2，则实数 xx 的取值范围为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 3 题 · 填空题

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04解析几何★☆☆☆☆
已知圆 CC 的一般方程为 x2+2x+y2=0x^2+2x+y^2=0，则圆 CC 的半径为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 4 题 · 填空题

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05概率与统计★☆☆☆☆
已知事件 AA 发生的概率为 P(A)=0.5P(A)=0.5，则它的对立事件 Aˉ\bar{A} 发生的概率 P(Aˉ)=P(\bar{A})=______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 5 题 · 填空题

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06不等式★☆☆☆☆
已知正实数 aa，bb 满足 a+4b=1a+4b=1，则 abab 的最大值为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 6 题 · 填空题

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07概率与统计★☆☆☆☆
某校抽取 100100 名学生测身高，其中身高最大值为 186186 cm，最小值为 154154 cm，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为 55，且第一组下限为 153.5153.5，则组数为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 7 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
设 (1−2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4\left(1-2x\right)^4=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4，则 a0+a4=a_0+a_4=______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2−x+1f(x)=2^{-x}+1，且
g(x)={log⁡2(x+1),x≥0,f(−x),x<0,g(x)= \begin{cases} \log_2(x+1), &x\ge 0,\\ f(-x), &x<0, \end{cases}
则方程 g(x)=2g(x)=2 的解为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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10概率与统计★★☆☆☆
已知有 44 名男生 66 名女生，现从 1010 人中任选 33 人，则恰有 11 名男生 22 名女生的概率为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11复数★★★☆☆
设 z1z_1，z2∈Cz_2\in \mathbb{C} 且 z1=i⋅z2z_1=\mathrm{i}\cdot z_2，满足 ∣z1−1∣=1\left|z_1-1\right|=1，则 ∣z1−z2∣\left|z_1-z_2\right| 的取值范围为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★★★★
已知空间向量 OA→\overrightarrow{OA}，OB→\overrightarrow{OB}，OC→\overrightarrow{OC} 都是单位向量，且 OA→⊥OB→\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}，OA→⊥OC→\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OC}，OB→\overrightarrow{OB} 与 OC→\overrightarrow{OC} 的夹角为 60∘60^\circ. 若 PP 为空间任意一点，且 ∣OP→∣=1\left|\overrightarrow{OP}\right|=1，满足 ∣OP→⋅OC→∣≤∣OP→⋅OB→∣≤∣OP→⋅OA→∣\left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC}\right|\le \left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB}\right|\le \left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA}\right|，则 OP→⋅OC→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC} 的最大值为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数是偶函数的是（ ）.
A.
y=sin⁡xy=\sin x
B.
y=cos⁡xy=\cos x
C.
y=x3y=x^3
D.
y=2xy=2^x

2023 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

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14概率与统计★☆☆☆☆
如图为 2018−20212018-2021 年中国货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是（ ）.
A.
从 20182018 年开始，20212021 年的进出口总额增长率最大
B.
从 20182018 年开始，进出口总额逐年增大
C.
从 20182018 年开始，进口总额逐年增大
D.
从 20182018 年开始，20202020 年的进出口总额增长率最小

2023 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图所示，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，点 PP 为线段 A1C1A_1C_1 上的动点，则下列直线中，始终与直线 BPBP 异面的是（ ）.
A.
DD1DD_1
B.
ACAC
C.
AD1AD_1
D.
B1CB_1C

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16数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的各项均为实数，SnS_n 为其前 nn 项和，若对任意 k>2022k>2022，都有 ∣Sk∣>∣Sk+1∣\left|S_k\right|>\left|S_{k+1}\right|，则下列说法可能成立的是（ ）.
A.
a1,a3,a5,⋯ ,a2n−1a_1,a_3,a_5,\cdots,a_{2n-1} 为等差数列，a2,a4,a6,⋯ ,a2na_2,a_4,a_6,\cdots,a_{2n} 为等比数列
B.
a1a_1，a3a_3，a5a_5，⋯\cdots，a2n−1a_{2n-1} 为等比数列，a2a_2，a4a_4，a6a_6，⋯\cdots，a2na_{2n} 为等差数列
C.
a1a_1，a2a_2，a3a_3，⋯\cdots，a2022a_{2022} 为等差数列，a2022a_{2022}，a2023a_{2023}，a2024a_{2024}，⋯\cdots，ana_n 为等比数列
D.
a1a_1，a2a_2，a3a_3，⋯\cdots，a2022a_{2022} 为等比数列，a2022a_{2022}，a2023a_{2023}，a2024a_{2024}，⋯\cdots，ana_n 为等差数列

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17立体几何初步★★★☆☆
已知三棱锥 P−ABCP-ABC 中，AB⊥ACAB\perp AC，PA⊥PA\perp 平面 ABCABC，PA=AB=3PA=AB=3，AC=4AC=4，MM 为 BCBC 中点，过点 MM 分别作平行于平面 PABPAB 的直线交 ACAC，PCPC 于点 EE，FF.
(1) 求直线 PMPM 与平面 ABCABC 所成的角的正切值； (2) 证明：平面 MEF∥MEF\parallel 平面 PABPAB，并求直线 MEME 到平面 PABPAB 的距离.

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边为 aa，bb，cc，其中 b=2b=2.
(1) 若 A+C=60∘A+C=60^\circ，且 a=2ca=2c，求边长 cc 的值； (2) 若 A−C=30∘A-C=30^\circ，a=2 csin⁡Aa=\sqrt2\,c\sin A，求 S△ABCS_{\triangle ABC}.

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19导数及其应用★★★☆☆
已知 SS 为正比例系数，定义 S=F0V0S=\frac{F_0}{V_0}，F0F_0 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0V_0 为建筑物的体积（单位：立方米）.
(1) 若有一个圆柱体建筑的底面半径为 RR，高度为 HH，求该建筑体的 SS（用 RR，HH 表示）； (2) 现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设 A 为底面面积，LL 为建筑底面周长. 已知 ff 为正比例系数，L2L^2 与 A 成正比，定义 f=L2Af=\frac{L^2}{A}，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为 TT. 已知该建筑体推导得出 S=f⋅nT+13nS=\sqrt{\frac{f\cdot n}{T}+\frac{1}{3n}}，nn 为层数，层高为 33 米，其中 f=18f=18，T=10000T=10000，试求当取第几层时，该建筑体 SS 最小？

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20解析几何★★★★★
已知椭圆 Γ:x2m2+y23=1\Gamma:\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{3}=1 （m>0m>0， m≠3\ m\neq \sqrt3）.
(1) 若 m=2m=2，求椭圆 Γ\Gamma 的离心率； (2) 设 A1A_1，A2A_2 为椭圆 Γ\Gamma 的左右顶点，若椭圆 Γ\Gamma 上一点 EE 的纵坐标为 11，且 EA1→⋅EA2→=−2\overrightarrow{EA_1}\cdot\overrightarrow{EA_2}=-2，求 mm 的值； (3) 若 PP 为椭圆 Γ\Gamma 上一点，过点 PP 作一条斜率为 3\sqrt3 的直线与双曲线 y25m2−x25=1\frac{y^2}{5m^2}-\frac{x^2}{5}=1 仅有一个公共点，求 mm 的取值范围.

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ax3−(a+1)x2+xf(x)=ax^3-(a+1)x^2+x，g(x)=kx+mg(x)=kx+m，其中 a≥0a\ge 0，kk，m∈Rm\in \mathbf{R}，若任意 x∈[0,1]x\in[0,1] 均有 f(x)≤g(x)f(x)\le g(x)，则称函数 y=g(x)y=g(x) 是函数 y=f(x)y=f(x) 的控制函数，且对于所有满足条件的函数 y=g(x)y=g(x) 在 xx 处取得的最小值记为 fˉ(x)\bar f(x).
(1) 若 a=2a=2，g(x)=xg(x)=x，试问 y=g(x)y=g(x) 是否为 y=f(x)y=f(x) 的控制函数； (2) 若 a=0a=0，使得直线 y=h(x)y=h(x) 是曲线 y=f(x)y=f(x) 在 x=14x=\frac14 处的切线，证明：函数 y=h(x)y=h(x) 为函数 y=f(x)y=f(x) 的控制函数，并求 fˉ(14)\bar f\left(\frac14\right) 的值； (3) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 在 x=x0x=x_0（x0∈(0,1)x_0\in(0,1)）处的切线过点 (1,0)(1,0)，且 c∈[x0,1]c\in[x_0,1]，证明：当且仅当 c=x0c=x_0 或 c=1c=1 时，fˉ(c)=f(c)\bar f(c)=f(c).

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