如图，椭圆的中心为原点 $O$，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A$，$A'$ 两点，$|AA'| = 4$.

(1) 求该椭圆的标准方程； (2) 取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P$，$P'$，过 $P$，$P'$ 作圆心为 $Q$ 的圆. 使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外. 若 $PQ \perp P'Q$，求圆 $Q$ 的标准方程.

\begin{solution} 设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，（$a>b>0$） 焦距的一半为 $c$，则 $c^2=a^2-b^2$，且 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{2}$.

\begin{enumerate} \item 过左焦点 $F_1(-c,0)$ 的垂线为 $x=-c$. 代入椭圆方程，弦端点的纵坐标满足 因此 解得 $b^2=8$，再由 $b^2=\frac{a^2}{2}$ 得 $a^2=16$. 所以椭圆的标准方程为

\item 设垂直于 $x$ 轴的直线为 $x=x_0$，其与椭圆的交点为 $P(x_0,y_0)$，$P'(x_0,-y_0)$，$y_0\ne0$. 由于圆过 $P$，$P'$，其圆心 $Q$ 在 $PP'$ 的垂直平分线上，而 $PP'$ 垂直于 $x$ 轴，所以可设 $Q(t,0)$，圆的半径为 $r$. 由 $PQ\perp P'Q$， 即 椭圆上的点 $M(x,y)$ 满足 $y^2=\frac{16-x^2}{2}$. 于是 由题意，除 $P$，$P'$ 外椭圆上的点均在圆外，所以当 $x=x_0$ 时上式在区间 $(-4,4)$ 内取得最小值 $0$. 对关于 $x$ 的二次式求导，得 由椭圆方程和上面两个等式， $y_0^2=\frac{16-x_0^2}{2}$，$(x_0-t)^2=y_0^2$， 从而 解得 $t^2=\frac{8}{3}$. 又 所以 $t=\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}$，圆 $Q$ 的标准方程为 或 \end{enumerate} \end{solution}

对正整数 $n$，记 $I_n = \{1, 2, \cdots, n\}$，$P_n = \left\{\frac{m}{\sqrt{k}} \mid m \in I_n, k \in I_n\right\}$.

(1) 求集合 $P_{7}$ 中元素的个数； (2) 若 $P_{n}$ 的子集 $A$ 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称 $A$ 为“稀疏集”，求 $n$ 的最大值，使 $P_{n}$ 能分成两个不相交的稀疏集的并.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 将 $k$ 写成 $k=sr^2$，其中 $s$ 为平方因子已经除尽后的平方自由数. 对 $n=7$，当 $s=1$ 时 $k=1$，$4$，所得不同的有理数为 共有 $11$ 个. 其余平方自由数为 $2$，$3$，$5$，$6$，$7$，每个数只能取 $r=1$，分别产生 $7$ 个形如 $\frac{m}{\sqrt{s}}$ 的数；不同的平方自由数对应的数不可能相等. 因此

\item 每个 $P_n$ 中的元素都可以唯一写成 $q\sqrt{s}$，其中 $q$ 是正有理数，$s$ 是平方自由正整数. 若 $s>1$，则该元素是无理数. 若两个元素的平方自由部分相同且大于 $1$，它们的和为正有理数倍的 $\sqrt{s}$，仍是无理数. 若两个元素的平方自由部分分别为不同的 $s$，$t>1$，假设它们的和为有理数 $u$，则 $q\sqrt{s}+r\sqrt{t}=u$. 移项并平方可得 $2uq\sqrt{s}=u^2+q^2s-r^2t$，从而 $\sqrt{s}$ 为有理数，矛盾. 若其中一个平方自由部分为 $1$，另一个大于 $1$，则和为有理数会使后者的 $\sqrt{s}$ 为有理数，同样矛盾. 因此，含有非有理数的两个不同元素之和不可能是整数，稀疏集划分的限制只来自 $P_n$ 中的有理数.

先考察 $P_{14}$. 其中有理数恰来自 $k=1$，$4$，$9$，约分后得到的有理数集合为 将其分为 和 把 $P_{14}$ 中除 $R_{14}$ 外的所有无理数任意放入第一组，便得到 $A=\{x\in P_{14}\mid x\notin R_{14}\}\cup A_0$，$B=B_0$.

为验证这两个集合确实稀疏，只需检查 $R_{14}$ 中两数之和为整数平方的情形. 由于两数之和不超过 $28$，只需检查平方 $1$，$4$，$9$，$16$，$25$. 和为 $1$ 的相邻对只有 $\frac13+\frac23$；和为 $4$ 的相邻对为 $\frac13+\frac{11}{3}$、$\frac12+\frac72$、$\frac23+\frac{10}{3}$、$1+3$、$\frac43+\frac83$、$\frac32+\frac52$、$\frac53+\frac73$；和为 $9$ 的相邻对为 $1+8$、$2+7$、$3+6$、$4+5$、$\frac52+\frac{13}{2}$、$\frac72+\frac{11}{2}$、$\frac{13}{3}+\frac{14}{3}$；和为 $16$ 的相邻对为 $2+14$、$3+13$、$4+12$、$5+11$、$6+10$、$7+9$；和为 $25$ 的相邻对为 $11+14$、$12+13$. 这些相邻对均分别落在 $A_0$ 与 $B_0$ 中，所以 $A$、$B$ 都是稀疏集. 由此 $n=14$ 可以实现.

另一方面，当 $n\geqslant15$ 时，$P_n$ 中包含 $1$，$3$，$6$，$10$，$15$，且 $1+3=4$，$3+6=9$，$6+10=16$，$10+15=25$，$15+1=16$. 因此这五个元素构成一个长度为 $5$ 的奇环. 若把 $P_n$ 分成两个稀疏集，奇环上的相邻元素必须交替分入两个集合，绕环一周后首尾两个元素却会被迫分入同一集合，矛盾. 所以 $n\geqslant15$ 时不能实现，故 $n$ 的最大值为 $14$. \end{enumerate} \end{solution}