已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax^{2} - bx - 1$，其中 $a$，$b \in \mathbf{R}$，$\mathrm{e} = 2.71828\cdots$ 为自然对数的底数.

(1) 设 $g(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，求函数 $g(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值； (2) 若 $f(1)=0$，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有零点，证明：$\mathrm{e} - 2 < a < 1$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item $g(x)=f'(x)=\mathrm{e}^x-2ax-b$，且 $g'(x)=\mathrm{e}^x-2a$ 严格递增. 若 $a\leqslant\frac12$，则 $g'(x)\geqslant0$（$0\leqslant x\leqslant1$），所以最小值为 $g(0)=1-b$. 若 \frac12<a<\frac\mathrm{e}2，则 $g'(x)=0$ 的解 $x_0=\ln(2a)$ 在 $(0,1)$ 内，故最小值为 若 a\geqslant\frac\mathrm{e}2，则 $g'(x)\leqslant0$（$0\leqslant x\leqslant1$），所以最小值为 $g(1)=\mathrm{e}-2a-b$. 综上，最小值为 \item 由 $f(1)=0$，得 $a+b=\mathrm{e}-1$，即 $b=\mathrm{e}-1-a$. 又 $f(0)=0$，设题设中 $(0,1)$ 内的零点为 $x_0$. 对区间 $[0,x_0]$ 和 $[x_0,1]$ 分别使用罗尔定理，得 $g=f'$ 在 $(0,1)$ 内有两个不同的零点.

由于 $g'(x)=\mathrm{e}^x-2a$ 严格递增，且 $g$ 在 $(0,1)$ 内有两个不同的零点，罗尔定理表明 $g'$ 在这两个零点之间有一个零点. 因而 $g$ 在该点左侧递减、右侧递增，两个零点之外函数值严格为正，从而 $g(0)>0$，$g(1)>0$. 因此 $g(0)=1-b=a+2-\mathrm{e}>0$，$g(1)=\mathrm{e}-2a-b=1-a>0$. 于是 $\mathrm{e}-2<a<1$. \end{enumerate} \end{solution}