已知函数 $f(x)=a^x+b^x$（$a>0$，$b>0$，$a\ne1$，$b\ne1$）.

(1) 设 $a=2$，$b=\dfrac12$.

(i) 求方程 $f(x)=2$ 的根； (ii) 若对于任意 $x\in\mathbf{R}$，不等式 $f(2x)\ge mf(x)-6$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值； (2) 若 $0<a<1$，$b>1$，函数 $g(x)=f(x)-2$ 有且只有 $1$ 个零点，求 $ab$ 的值.

记 $U=\{1,2,\cdots,100\}$. 对数列 $\{a_n\}$（$n\in\mathbf{N}^*$）和 $U$ 的子集 $T$，若 $T=\varnothing$，定义 $S_T=0$；若 $T=\{t_1,t_2,\cdots,t_k\}$，定义 $S_T=a_{t_1}+a_{t_2}+\cdots+a_{t_k}$. 例如：$T=\{1,3,66\}$ 时，$S_T=a_1+a_3+a_{66}$. 现设 $\{a_n\}$（$n\in\mathbf{N}^*$）是公比为 $3$ 的等比数列，且当 $T=\{2,4\}$ 时，$S_T=30$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 对任意正整数 $k$（$1\le k\le100$），若 $T\subseteq\{1,2,\cdots,k\}$，求证：$S_T<a_{k+1}$； (3) 设 $C\subseteq U$，$D\subseteq U$，$S_C\ge S_D$，求证：$S_C+S_{C\cap D}\ge2S_D$.