设函数 $f(x)=\ln x-ax$，$g(x)=\mathrm{e}^x-ax$，其中 $a$ 为实数.

(1) 若 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上是单调减函数，且 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上有最小值，求 $a$ 的取值范围； (2) 若 $g(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上是单调增函数，试求 $f(x)$ 的零点个数，并证明你的结论.

设数列 $\{a_n\}$：$1$，$-2$，$-2$，$3$，$3$，$3$，$-4$，$-4$，$-4$，$-4$，$\cdots$，$\underbrace{(-1)^{k-1}k,\cdots,(-1)^{k-1}k}_{k\text{ 个}}$，$\cdots$. 即当 $\frac{(k-1)k}{2}<n\leqslant \frac{k(k+1)}{2}$（$k\in\mathbf{N}^*$）时，$a_n=(-1)^{k-1}k$. 记 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$（$n\in\mathbf{N}^*$）. 对于 $\ell\in\mathbf{N}^*$，定义集合 $P_{\ell}=\{n\mid 1\leqslant n\leqslant \ell,\ S_n\text{ 是 }a_n\text{ 的整数倍}\}$.

(1) 求集合 $P_{11}$ 中元素的个数； (2) 求集合 $P_{2000}$ 中元素的个数.