设动点 $P$ 到点 $A(-1, 0)$ 和 $B(1, 0)$ 的距离分别为 $d_{1}$ 和 $d_{2}$，$\angle APB = 2\theta$. 且存在常数 $\lambda$（$0 < \lambda < 1$），使得 $d_{1}d_{2}\sin^{2}\theta = \lambda$.

(1) 证明：动点 $P$ 的轨迹 $C$ 为双曲线，并求出 $C$ 的方程； (2) 过点 $B$ 作直线交双曲线 $C$ 的右支于 $M$，$N$ 两点，试确定 $\lambda$ 的范围，使 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=0$，其中点 $O$ 为坐标原点.

设正整数数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_2 = 4$，且对于任何 $n \in \mathbf{N}^*$，有 $2 + \frac{1}{a_{n+1}} < \frac{\frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+1}}}{\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}} < 2 + \frac{1}{a_n}$.

(1) 求 $a_1$，$a_3$； (2) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n$.