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01复数★☆☆☆☆
化简 2+4i(1+i)2\frac{2 + 4\mathrm{i}}{(1 + \mathrm{i})^2} 的结果是（ ）
A.
2+i2 + \mathrm{i}
B.
−2+i-2 + \mathrm{i}
C.
2−i2 - \mathrm{i}
D.
−2−i-2 - \mathrm{i}

2007 · 江西 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02导数及其应用★☆☆☆☆
lim⁡x→1x3−x2x−1\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^3 - x^2}{x - 1}（ ）
A.
等于 00
B.
等于 11
C.
等于 33
D.
不存在

2007 · 江西 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
若 tan⁡(π4−α)=3\tan \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 3，则 cot⁡α\cot \alpha 等于（ ）
A.
−2-2
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
12\frac{1}{2}
D.
22

2007 · 江西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知 (x+3x3)n\left(\sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt[3]{x}}\right)^n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 6464，则 nn 等于（ ）
A.
44
B.
55
C.
66
D.
77

2007 · 江西 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05导数及其应用★★★★☆
若 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，则下列命题中正确的是（ ）
A.
sin⁡x<3πx\sin x < \frac{3}{\pi}x
B.
sin⁡x>3πx\sin x > \frac{3}{\pi}x
C.
sin⁡x<4π2x2\sin x < \frac{4}{\pi^{2}}x^{2}
D.
sin⁡x>4π2x2\sin x > \frac{4}{\pi^{2}}x^{2}

2007 · 江西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 M={0,1,2}M = \{0, 1, 2\}，N={(x,y)∣x−2y+1⩾0 且 x−2y−1⩽0, x,y∈M}N = \{(x, y) \mid x - 2y + 1 \geqslant 0 \text{ 且 } x - 2y - 1 \leqslant 0,\ x, y \in M\}，则 NN 中元素的个数为（ ）
A.
99
B.
66
C.
44
D.
22

2007 · 江西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 11，过点 AA 作平面 A1BDA_{1}BD 的垂线，垂足为点 HH. 则以下命题中，错误的是（ ）
A.
点 HH 是 △A1BD\triangle A_{1}BD 的垂心
B.
AHAH 垂直平面 CB1D1CB_{1}D_{1}
C.
AHAH 的延长线经过点 C1C_{1}
D.
直线 AHAH 和 BB1BB_{1} 所成的角为 45∘45^{\circ}

2007 · 江西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同，内空高度相等，杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半. 设剩余酒的高度从左到右依次为 h1h_1，h2h_2，h3h_3，h4h_4，则它们的大小关系正确的是（ ）
A.
h2>h1>h4h_2 > h_1 > h_4
B.
h1>h2>h3h_1 > h_2 > h_3
C.
h3>h2>h4h_3 > h_2 > h_4
D.
h2>h4>h1h_2 > h_4 > h_1

2007 · 江西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率为 e=12e = \frac{1}{2}，右焦点为 F(c,0)F(c, 0). 方程 ax2+bx−c=0ax^{2} + bx - c = 0 的两个实根分别为 x1x_{1} 和 x2x_{2}，则点 P(x1,x2)P(x_{1}, x_{2})（ ）
A.
必在圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 内
B.
必在圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 上
C.
必在圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 外
D.
以上三种情形都有可能

2007 · 江西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10概率与统计★★☆☆☆
将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
A.
19\frac{1}{9}
B.
112\frac{1}{12}
C.
115\frac{1}{15}
D.
118\frac{1}{18}

2007 · 江西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11导数及其应用★★☆☆☆
设函数 f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上以 55 为周期的可导偶函数，则曲线 y=f(x)y=f(x) 在 x=5x=5 处的切线的斜率为（ ）
A.
−15-\frac{1}{5}
B.
00
C.
15\frac{1}{5}
D.
55

2007 · 江西 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12集合与逻辑基础★★★★☆
设 pp：f(x)=ex+ln⁡x+2x2+mx+1f(x) = \mathrm{e}^{x} + \ln x + 2x^{2} + mx + 1 在 (0,+∞)(0, +\infty) 内单调递增，qq：m⩾−5m \geqslant -5，则 pp 是 qq 的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2007 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13指数函数与对数函数★★☆☆☆
设函数 y=4+log⁡2(x−1)y = 4 + \log_{2}(x - 1)（x⩾3x \geqslant 3），则其反函数的定义域为______.

2007 · 江西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 对于任意 pp，q∈N∗q \in \mathbf{N}^*，有 ap+aq=ap+qa_p + a_q = a_{p+q}，若 a1=19a_1 = \frac{1}{9}，则 a36=a_{36} =______.

2007 · 江西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，点 OO 是 BCBC 的中点，过点 OO 的直线分别交直线 ABAB，ACAC 于不同的两点 MM，NN，若 AB→=mAM→\overrightarrow{AB} = m\overrightarrow{AM}，AC→=nAN→\overrightarrow{AC} = n\overrightarrow{AN}，则 m+nm + n 的值为______.

2007 · 江西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
设有一组圆 Ck:(x−k+1)2+(y−3k)2=2k4C_k: (x - k + 1)^{2} + (y - 3k)^{2} = 2k^{4}（k∈N∗k \in \mathbf{N}^*）. 下面四个命题：
其中真命题的代号是______.（写出所有真命题的代号）
A.
存在一条定直线与所有的圆均相切
B.
存在一条定直线与所有的圆均相交
C.
存在一条定直线与所有的圆均不相交
D.
所有的圆均不经过原点

2007 · 江西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={cx+1,0<x<c,2−xc2+k,c⩽x<1,f(x)=\begin{cases} cx + 1, & 0 < x < c,\\ 2^{-\frac{x}{c^{2}}} + k, & c \leqslant x < 1, \end{cases}
在区间 (0,1)(0,1) 内连续，且 f(c2)=98f(c^{2}) = \frac{9}{8}.
(1) 求实数 kk 和 cc 的值； (2) 解不等式 f(x)>28+1f(x) > \frac{\sqrt{2}}{8} + 1.

2007 · 江西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
如图，函数 y=2cos⁡(ωx+θ)y = 2\cos(\omega x + \theta)（x∈Rx \in \mathbf{R}，0⩽θ⩽π20 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}）的图象与 yy 轴交于点 (0,3)(0, \sqrt{3})，且在该点处切线的斜率为 −2-2.
(1) 求 θ\theta 和 ω\omega 的值； (2) 已知点 A(π2,0)A\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)，点 PP 是该函数图象上的一点，点 Q(x0,y0)Q(x_0, y_0) 是 PAPA 的中点，当 y0=32y_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}，x0∈[π2,π]x_0 \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] 时，求 x0x_0 的值.

2007 · 江西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某陶瓷厂准备烧制甲，乙，丙三件不同的工艺品，制作过程中必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立. 根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲，乙，丙三件产品合格的概率依次为 0.50.5，0.60.6，0.40.4. 经过第二次烧制后，甲，乙，丙三件产品合格的概率依次为 0.60.6，0.50.5，0.750.75.
(1) 求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； (2) 经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为 ξ\xi，求随机变量 ξ\xi 的期望.

2007 · 江西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
如图是一个直三棱柱（以 A1B1C1A_{1}B_{1}C_{1} 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ABCABC. 已知 A1B1=B1C1=1A_{1}B_{1} = B_{1}C_{1} = 1，∠A1B1C1=90∘\angle A_{1}B_{1}C_{1} = 90^{\circ}，AA1=4AA_{1} = 4，BB1=2BB_{1} = 2，CC1=3CC_{1} = 3.
(1) 设点 OO 是 ABAB 的中点，证明：OC∥OC \parallel 平面 A1B1C1A_{1}B_{1}C_{1}； (2) 求二面角 B−AC−A1B - AC - A_{1} 的大小； (3) 求此几何体的体积.

2007 · 江西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
设动点 PP 到点 A(−1,0)A(-1, 0) 和 B(1,0)B(1, 0) 的距离分别为 d1d_{1} 和 d2d_{2}，∠APB=2θ\angle APB = 2\theta. 且存在常数 λ\lambda（0<λ<10 < \lambda < 1），使得 d1d2sin⁡2θ=λd_{1}d_{2}\sin^{2}\theta = \lambda.
(1) 证明：动点 PP 的轨迹 CC 为双曲线，并求出 CC 的方程； (2) 过点 BB 作直线交双曲线 CC 的右支于 MM，NN 两点，试确定 λ\lambda 的范围，使 OM→⋅ON→=0\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=0，其中点 OO 为坐标原点.

2007 · 江西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
设正整数数列 {an}\{a_n\} 满足：a2=4a_2 = 4，且对于任何 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，有 2+1an+1<1an+1an+11n−1n+1<2+1an2 + \frac{1}{a_{n+1}} < \frac{\frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+1}}}{\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}} < 2 + \frac{1}{a_n}.
(1) 求 a1a_1，a3a_3； (2) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项 ana_n.

2007 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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