已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$，抛物线 $C_2:(y-m)^2=2px$（$p>0$），且 $C_1$，$C_2$ 的公共弦 $AB$ 过椭圆 $C_1$ 的右焦点.

(1) 当 $AB\perp x$ 轴时，求 $m$，$p$ 的值，并判断抛物线 $C_2$ 的焦点是否在直线 $AB$ 上； (2) 若 $p=\frac43$ 且抛物线 $C_2$ 的焦点在直线 $AB$ 上，求 $m$ 的值及直线 $AB$ 的方程.