$A$ 是由定义在 $[2,4]$ 上且满足如下条件的函数 $\varphi(x)$ 组成的集合：

① 对任意的 $x \in [1,2]$，都有 $\varphi(2x) \in (1,2)$； ② 存在常数 $L$（$0 < L < 1$），使得对任意的 $x_1$，$x_2 \in [1,2]$，都有 $|\varphi(2x_1) - \varphi(2x_2)| \leqslant L|x_1 - x_2|$.

(1) 设 $\varphi(x) = \sqrt[3]{1 + x}$，$x \in [2,4]$，证明：$\varphi(x) \in A$； (2) 设 $\varphi(x) \in A$，如果存在 $x_0 \in (1,2)$，使得 $x_0 = \varphi(2x_0)$，那么这样的 $x_0$ 是唯一的； (3) 设 $\varphi(x) \in A$，任取 $x_1 \in (1,2)$，令 $x_n = \varphi(2x_{n-1})$，$n = 2$，$3$，$\cdots$，证明：给定正整数 $k$，对任意的正整数 $p$，成立不等式 $|x_{k+p} - x_k| \leqslant \frac{L^{k-1}}{1 - L} |x_2 - x_1|$.