如图，$AD$ 与 $BC$ 是四面体 $ABCD$ 中互相垂直的棱，$BC = 2$. 若 $AD = 2c$，且 $AB + BD = AC + CD = 2a$，其中 $a$，$c$ 为常数，则四面体 $ABCD$ 的体积的最大值是______.

对于数集 $X = \{-1, x_1, x_2, \cdots, x_n\}$，其中 $0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n$，$n \geqslant 2$，定义向量集 $Y = \{\boldsymbol{a} \mid \boldsymbol{a} = (s, t), s \in X, t \in X\}$. 若对任意 $\boldsymbol{a}_1 \in Y$，存在 $\boldsymbol{a}_2 \in Y$，使得 $\boldsymbol{a}_1 \cdot \boldsymbol{a}_2 = 0$，则称 $X$ 具有性质 $P$. 例如 $\{-1, 1, 2\}$ 具有性质 $P$.

(1) 若 $x > 2$，且 $\{-1, 1, 2, x\}$ 具有性质 $P$，求 $x$ 的值； (2) 若 $X$ 具有性质 $P$，求证： $1 \in X$，且当 $x_n > 1$ 时，$x_1 = 1$； (3) 若 $X$ 具有性质 $P$，且 $x_{1} = 1$，$x_{2} = q$ （$q$ 为常数），求有穷数列 $x_{1}$，$x_{2}$，$\cdots$，$x_{n}$ 的通项公式.