已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x+k}{\mathrm{e}^x}$（$k$ 为常数，$\mathrm{e}=2.71828\cdots$ 是自然对数的底数），曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行.

(1) 求 $k$ 的值； (2) 求 $f(x)$ 的单调区间； (3) 设 $g(x)=xf'(x)$，其中 $f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数. 证明：对任意 $x>0$，$g(x)<1+\mathrm{e}^{-2}$.