已知正三角形 $OAB$ 的三个顶点都在抛物线 $y^{2} = 2x$ 上，其中 $O$ 为坐标原点，设圆 $C$ 是 $\triangle OAB$ 的外接圆（点 $C$ 为圆心）.

(1) 求圆 $C$ 的方程. (2) 设圆 $M$ 的方程为 $(x - 4 - 7\cos \theta)^2 + (y - 7\sin \theta)^2 = 1$，过圆 $M$ 上任意一点 $P$ 分别作圆 $C$ 的两条切线 $PE$，$PF$，切点为 $E$，$F$，求 $\overrightarrow{CE} \cdot \overrightarrow{CF}$ 的最大值和最小值.

已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{2x} - 2t(\mathrm{e}^{x} + x) + x^{2} + 2t^{2} + 1$，$g(x) = \frac{1}{2} f'(x)$.

(1) 证明：当 $t < 2\sqrt{2}$ 时，$g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数. (2) 对于给定的闭区间 $[a, b]$，试说明存在实数 $k$，当 $t > k$ 时，$g(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是减函数. (3) 证明：$f(x) \geqslant \frac{3}{2}$.