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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 U={1,2,3,4,5}U = \{1, 2, 3, 4, 5\}，A={1,3}A = \{1, 3\}，B={2,3,4}B = \{2, 3, 4\}，则 (∁UA)∩(∁UB)=(\complement_U A) \cap (\complement_U B) =（ ）
A.
{1}\{1\}
B.
{5}\{5\}
C.
{2,4}\{2,4\}
D.
{1,2,4,5}\{1, 2, 4, 5\}

2007 · 辽宁 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
若函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数图象过点 (1,5)(1,5)，则函数 y=f(x)y = f(x) 的图象必过点（ ）
A.
(1,1)(1,1)
B.
(1,5)(1,5)
C.
(5,1)(5,1)
D.
(5,5)(5,5)

2007 · 辽宁 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★★☆☆☆
若向量 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 不共线，a⋅b≠0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \neq 0，且 c=a−(a⋅aa⋅b)b\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} - \left(\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}}{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}\right)\boldsymbol{b}，则向量 a\boldsymbol{a} 与 c\boldsymbol{c} 的夹角为（ ）
A.
00
B.
π6\frac{\pi}{6}
C.
π3\frac{\pi}{3}
D.
π2\frac{\pi}{2}

2007 · 辽宁 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，若 S3=9S_{3} = 9，S6=36S_{6} = 36，则 a7+a8+a9=a_{7} + a_{8} + a_{9} =（ ）
A.
6363
B.
4545
C.
3636
D.
2727

2007 · 辽宁 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05复数★★☆☆☆
若 θ∈(3π4,5π4)\theta \in \left(\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)，则复数 (cos⁡θ+sin⁡θ)+(sin⁡θ−cos⁡θ)i(\cos \theta + \sin \theta) + (\sin \theta - \cos \theta)\mathrm{i} 在复平面内所对应的点在（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2007 · 辽宁 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★☆☆☆☆
若函数 y=f(x)y = f(x) 的图象按向量 a\boldsymbol{a} 平移后，得到函数 y=f(x+1)−2y = f(x + 1) - 2 的图象，则向量 a=\boldsymbol{a} =（ ）
A.
(−1,−2)(-1, -2)
B.
(1,−2)(1, -2)
C.
(−1,2)(-1, 2)
D.
(1,2)(1, 2)

2007 · 辽宁 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
若 mm，nn 是两条不同的直线，α\alpha，β\beta，γ\gamma 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A.
若 m⊂βm \subset \beta，α⊥β\alpha \perp \beta，则 m⊥αm \perp \alpha
B.
若 α∩γ=m\alpha \cap \gamma = m，β∩γ=n\beta \cap \gamma = n，m∥nm \parallel n，则 α∥β\alpha \parallel \beta
C.
若 m⊥βm \perp \beta，m∥αm \parallel \alpha，则 α⊥β\alpha \perp \beta
D.
若 α⊥γ\alpha \perp \gamma，α⊥β\alpha \perp \beta，则 β⊥γ\beta \perp \gamma

2007 · 辽宁 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★☆☆☆
已知变量 xx，yy 满足约束条件
{x−y+2⩽0,x⩾1,x+y−7⩽0,\begin{cases} x - y + 2 \leqslant 0,\\ x \geqslant 1,\\ x + y - 7 \leqslant 0, \end{cases}
则 yx\frac{y}{x} 的取值范围是（ ）
A.
[95,6]\left[\frac{9}{5}, 6\right]
B.
(−∞,95]∪[6,+∞)\left(-\infty, \frac{9}{5}\right] \cup [6, +\infty)
C.
(−∞,3]∪[6,+∞)(-\infty, 3] \cup [6, +\infty)
D.
[3,6][3, 6]

2007 · 辽宁 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09概率与统计★★☆☆☆
一个坛子里有编号为 11，22，…\ldots，1212 的 1212 个大小相同的球，其中 11 到 66 号球是红球，其余的是黑球.若从中任取 22 个球，则取到的都是红球，且至少有 11 个球的号码是偶数的概率为（ ）
A.
122\frac{1}{22}
B.
111\frac{1}{11}
C.
322\frac{3}{22}
D.
211\frac{2}{11}

2007 · 辽宁 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
设 pp，qq 是两个命题，p:log⁡12(∣x∣−3)>0p: \log_{\frac{1}{2}}(|x| - 3) > 0，q:x2−56x+16>0q: x^2 - \frac{5}{6}x + \frac{1}{6} > 0，则 pp 是 qq 的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2007 · 辽宁 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
设 PP 为双曲线 x2−y212=1x^2 - \frac{y^2}{12} = 1 上的一点，F1F_1，F2F_2 是该双曲线的两个焦点.若 ∣PF1∣:∣PF2∣=3:2|PF_1| : |PF_2| = 3 : 2，则 △PF1F2\triangle PF_1F_2 的面积为（ ）
A.
636\sqrt{3}
B.
1212
C.
12312\sqrt{3}
D.
2424

2007 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的连续函数，如果 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 仅当 x=0x = 0 时的函数值为 00，且 f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x)，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A.
00 是 f(x)f(x) 的极大值，也是 g(x)g(x) 的极大值
B.
00 是 f(x)f(x) 的极小值，也是 g(x)g(x) 的极小值
C.
00 是 f(x)f(x) 的极大值，但不是 g(x)g(x) 的极值
D.
00 是 f(x)f(x) 的极小值，但不是 g(x)g(x) 的极值

2007 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数
f(x)={acos⁡x,x⩾0,x2−1,x<0,f(x) = \begin{cases} a\cos x, & x \geqslant 0,\\ x^{2} - 1, & x < 0, \end{cases}
在点 x=0x = 0 处连续，则 a=‾a =\underline{\hspace{2em}}.

2007 · 辽宁 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
设椭圆 x225+y216=1\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1 上一点 PP 到左准线的距离为 1010，FF 是该椭圆的左焦点.若点 MM 满足 OM→=12(OP→+OF→)\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OF}\right)，则 ∣OM→∣=‾\left|\overrightarrow{OM}\right| =\underline{\hspace{2em}}.

2007 · 辽宁 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
若一个底面边长为 62\frac{\sqrt{6}}{2}，侧棱长为 6\sqrt{6} 的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为______.

2007 · 辽宁 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
将数字 11，22，33，44，55，66 拼成一列，记第 ii 个数为 aia_i （i=1,2,…,6i = 1, 2, \ldots, 6）. 若 a1≠1a_1 \neq 1，a3≠3a_3 \neq 3，a5≠5a_5 \neq 5，a1<a3<a5a_1 < a_3 < a_5，则不同的排列方法有______种.（用数字作答）

2007 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+π6)+sin⁡(ωx−π6)−2cos⁡2ωx2f(x) = \sin \left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin \left(\omega x - \frac{\pi}{6}\right) - 2 \cos^2 \frac{\omega x}{2}，x∈Rx \in \mathbf{R}（其中 ω>0\omega > 0）.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的值域. (2) 若对任意的 a∈Ra \in \mathbf{R}，函数 y=f(x)y = f(x)，x∈(a,a+π]x \in (a, a + \pi] 的图象与直线 y=−1y = -1 有且仅有两个不同的交点，试确定 ω\omega 的值（不必证明），并求函数 y=f(x)y = f(x)，x∈Rx \in \mathbf{R} 的单调增区间.

2007 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^{\circ}，AC=BC=aAC = BC = a，DD，EE 分别为棱 ABAB，BCBC 的中点，MM 为棱 AA1AA_{1} 上的点，二面角 M−DE−AM - DE - A 为 30∘30^{\circ}.
(1) 证明： A1B1⊥C1DA_{1}B_{1} \perp C_{1}D. (2) 求 MAMA 的长，并求点 CC 到平面 MDEMDE 的距离.

2007 · 辽宁 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本 CC 与产量 qq 的函数关系式为 C=q33−3q2+20q+10C = \frac{q^{3}}{3} - 3q^{2} + 20q + 10（q>0q > 0）. 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情形，各种情形发生的概率及产品价格 pp 与产量 qq 的函数关系如下表所示：
设 L1L_1，L2L_2，L3L_3 分别表示市场情形好，中，差时的利润，随机变量 ξq\xi_q 表示当产量 qq 而市场前景无法确定时的利润.
(1) 分别求利润 L1L_1，L2L_2，L3L_3 与产量 qq 的函数关系式. (2) 当产量 qq 确定时，求期望 E(ξq)E(\xi_q). (3) 试问产量 qq 取何值时，E(ξq)E(\xi_q) 取得最大值.

2007 · 辽宁 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知正三角形 OABOAB 的三个顶点都在抛物线 y2=2xy^{2} = 2x 上，其中 OO 为坐标原点，设圆 CC 是 △OAB\triangle OAB 的外接圆（点 CC 为圆心）.
(1) 求圆 CC 的方程. (2) 设圆 MM 的方程为 (x−4−7cos⁡θ)2+(y−7sin⁡θ)2=1(x - 4 - 7\cos \theta)^2 + (y - 7\sin \theta)^2 = 1，过圆 MM 上任意一点 PP 分别作圆 CC 的两条切线 PEPE，PFPF，切点为 EE，FF，求 CE→⋅CF→\overrightarrow{CE} \cdot \overrightarrow{CF} 的最大值和最小值.

2007 · 辽宁 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\} 与函数 f(x)f(x)，g(x)g(x)，x∈Rx \in \mathbf{R} 满足条件：b1=bb_{1} = b，an=f(bn)=g(bn+1)a_{n} = f(b_{n}) = g(b_{n+1})（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 若 f(x)=tx+1f(x) = tx + 1（t≠0t \neq 0，t≠2t \neq 2），g(x)=2xg(x) = 2x，f(b)≠g(b)f(b) \neq g(b)，且 lim⁡n→∞an\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n 存在，求 tt 的取值范围，并求 lim⁡n→∞an\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n（用 tt 表示）. (2) 若函数 y=f(x)y = f(x) 为 R\mathbf{R} 上的增函数，g(x)=f−1(x)g(x) = f^{-1}(x)，b=1b = 1，f(1)<1f(1) < 1，证明对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，an+1<ana_{n+1} < a_n.

2007 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=e2x−2t(ex+x)+x2+2t2+1f(x) = \mathrm{e}^{2x} - 2t(\mathrm{e}^{x} + x) + x^{2} + 2t^{2} + 1，g(x)=12f′(x)g(x) = \frac{1}{2} f'(x).
(1) 证明：当 t<22t < 2\sqrt{2} 时，g(x)g(x) 在 R\mathbf{R} 上是增函数. (2) 对于给定的闭区间 [a,b][a, b]，试说明存在实数 kk，当 t>kt > k 时，g(x)g(x) 在闭区间 [a,b][a, b] 上是减函数. (3) 证明：f(x)⩾32f(x) \geqslant \frac{3}{2}.

2007 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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