已知定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$ 满足 $f(f(x) - x^{2} + x) = f(x) - x^{2} + x$.

(1) 若 $f(2) = 3$，求 $f(1)$；又若 $f(0) = a$，求 $f(a)$； (2) 设有且仅有一个实数 $x_{0}$，使得 $f(x_{0}) = x_{0}$，求函数 $f(x)$ 的解析表达式.

已知一列椭圆 $C_{n}: x^{2} + \frac{y^{2}}{b_{n}^{2}} = 1$，$0 < b_{n} < 1$，$n=1$，$2$，$\cdots$. 若椭圆 $C_{n}$ 上有一点 $P_{n}$，使 $P_{n}$ 到右准线 $l_{n}$ 的距离 $d_{n}$ 是 $|P_{n}F_{n}|$ 与 $|P_{n}G_{n}|$ 的等差中项，其中 $F_{n}$，$G_{n}$ 分别是 $C_{n}$ 的左、右焦点.

(1) 试证：$b_{n} \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$（$n \geqslant 1$）； (2) 取 $b_{n} = \frac{\sqrt{2n + 3}}{n + 2}$，并用 $S_{n}$ 表示 $\triangle P_{n}F_{n}G_{n}$ 的面积. 试证：$S_{1} < S_{2}$ 且 $S_{n} > S_{n + 1}$（$n \geqslant 3$）.