如图为一台冷轧机的示意图. 冷轧机由若干对轧辊组成. 带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.

(1) 输入带钢的厚度为 $\alpha$，输出带钢的厚度为 $\beta$，若每对轧辊的减薄率不超过 $r_0$，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊（单对轧辊减薄率 $=\frac{\text{输入该对的带钢厚度}-\text{从该对输出的带钢厚度}}{\text{输入该对的带钢厚度}}$）？ (2) 已知一台冷轧机共有 $4$ 对减薄率为 $20\%$ 的轧辊，所有轧辊周长均为 $1600 \mathrm{~mm}$. 若第 $k$ 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为 $L_k$. 为了便于检修，请计算 $L_1$，$L_2$，$L_3$ 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.

已知函数 $y=f(x)$ 的图象是自原点出发的一条折线. 当 $n\leqslant y\leqslant n+1$（$n=0$，$1$，$2$，$\cdots$）时，该图象是斜率为 $b^n$ 的线段（其中正常数 $b\neq 1$），设数列 $\{x_n\}$ 由 $f(x_n)=n$（$n=1$，$2$，$\cdots$）定义.

(1) 求 $x_1$，$x_2$ 和 $x_n$ 的表达式； (2) 求 $f(x)$ 的表达式，并写出其定义域； (3) 证明：$y=f(x)$ 的图象与 $y=x$ 的图象没有横坐标大于 $1$ 的交点.

如图，给出定点 $A(a,0)$（$a>0$）和直线 $l\colon x=-1$. $B$ 是直线 $l$ 上的动点，$\angle BOA$ 的角平分线交 $AB$ 于点 $C$. 求点 $C$ 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 $a$ 值的关系.