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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
如图，II 是全集，MM，PP，SS 是 II 的 33 个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A.
(M∩P)∩S(M\cap P)\cap S
B.
(M∩P)∪S(M\cap P)\cup S
C.
(M∩P)∩S‾(M\cap P)\cap \overline{S}
D.
(M∩P)∪S‾(M\cap P)\cup \overline{S}

1999 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
已知映射 f:A→Bf:A\to B，其中，集合 A={−3,−2,−1,1,2,3,4}A=\{-3,-2,-1,1,2,3,4\}，集合 BB 中的元素都是 AA 中元素在映射 ff 下的象，且对任意的 a∈Aa\in A，在 BB 中和它对应的元素是 ∣a∣|a|，则集合 BB 中元素的个数是（ ）
A.
44
B.
55
C.
66
D.
77

1999 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
若函数 y=f(x)y=f(x) 的反函数是 y=g(x)y=g(x)，f(a)=bf(a)=b，ab≠0ab\neq 0，则 g(b)g(b) 等于（ ）
A.
aa
B.
a−1a^{-1}
C.
bb
D.
b−1b^{-1}

1999 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=Msin⁡(ωx+φ)f(x)=M\sin(\omega x+\varphi)（ω>0\omega>0）在区间 [a,b][a,b] 上是增函数，且 f(a)=−Mf(a)=-M，f(b)=Mf(b)=M，则函数 g(x)=Mcos⁡(ωx+φ)g(x)=M\cos(\omega x+\varphi) 在 [a,b][a,b] 上（ ）
A.
是增函数
B.
是减函数
C.
可以取得最大值 MM
D.
可以取得最小值 −M-M

1999 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★★☆☆
若 f(x)sin⁡xf(x)\sin x 是周期为 π\pi 的奇函数，则 f(x)f(x) 可以是（ ）
A.
sin⁡x\sin x
B.
cos⁡x\cos x
C.
sin⁡2x\sin 2x
D.
cos⁡2x\cos 2x

1999 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，曲线 ρ=4sin⁡(θ−π3)\rho=4\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) 关于（ ）
A.
直线 θ=π3\theta = \frac{\pi}{3} 轴对称
B.
直线 θ=5π6\theta = \frac{5\pi}{6} 轴对称
C.
点 (2,π3)\left(2, \frac{\pi}{3}\right) 中心对称
D.
极点中心对称

1999 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
将若干毫升水倒入底面半径为 2 cm2 \mathrm{~cm} 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 6 cm6 \mathrm{~cm}，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）
A.
63 cm6\sqrt{3} \mathrm{~cm}
B.
6 cm6 \mathrm{~cm}
C.
2183 cm2\sqrt[3]{18} \mathrm{~cm}
D.
3123 cm3\sqrt[3]{12} \mathrm{~cm}

1999 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4\left(2x + \sqrt{3}\right)^4 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4，则 (a0+a2+a4)2−(a1+a3)2(a_0 + a_2 + a_4)^2 - (a_1 + a_3)^2 的值为（ ）
A.
11
B.
−1-1
C.
00
D.
22

1999 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
直线 3x+y−23=0\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0 截圆 x2+y2=4x^{2}+y^{2}=4 得的劣弧所对的圆心角为（ ）
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π4\frac{\pi}{4}
C.
π3\frac{\pi}{3}
D.
π2\frac{\pi}{2}

1999 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★★☆
如图，在多面体 ABCDEFABCDEF 中，已知面 ABCDABCD 是边长为 33 的正方形，EF∥ABEF\parallel AB，EF=32EF=\frac{3}{2}，EFEF 与面 ACAC 的距离为 22，则该多面体的体积为（ ）
A.
92\frac{9}{2}
B.
55
C.
66
D.
152\frac{15}{2}

1999 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
若 sin⁡α>tan⁡α>cot⁡α\sin \alpha>\tan \alpha>\cot \alpha（−π2<α<π2-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}），则 α∈\alpha\in（ ）
A.
(−π2,−π4)\left(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{4}\right)
B.
(−π4,0)\left(-\frac{\pi}{4}, 0\right)
C.
(0,π4)\left(0, \frac{\pi}{4}\right)
D.
(π4,π2)\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)

1999 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
如果圆台的上底面半径为 55，下底面半径为 RR，中截面把圆台分为上，下两个圆台，它们的侧面积的比例为 1:21:2，那么 R=R=（ ）
A.
1010
B.
1515
C.
2020
D.
2525

1999 · 全国 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★★☆☆
已知两点 M(1,54)M\left(1,\frac{5}{4}\right)，N(−4,−54)N\left(-4,-\frac{5}{4}\right)，给出下列曲线方程：
① 4x+2y−1=04x+2y-1=0； ② x2+y2=3x^{2}+y^{2}=3； ③ x22+y2=1\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1； ④ x22−y2=1\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1.
在曲线上存在点 PP 满足 ∣MP∣=∣NP∣\left|MP\right|=\left|NP\right| 的所有曲线方程是（ ）
A.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3}
D.
\circled2\circled3\circled4\circled{2}\circled{3}\circled{4}

1999 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 选择题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
某电脑用户计划使用不超过 500500 元的资金购买单价分别为 6060 元，7070 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 33 片，磁盘至少买 22 盒，则不同的选购方式共有（ ）
A.
5 种5\text{ 种}
B.
6 种6\text{ 种}
C.
7 种7\text{ 种}
D.
8 种8\text{ 种}

1999 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15解析几何★★★☆☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点为 F1F_1，右准线为 l1l_1，若过 F1F_1 且垂直于 xx 轴的弦长等于点 F1F_1 到 l1l_1 的距离，则椭圆的离心率是______.

1999 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
在一块并排 10 垄10\text{ 垄} 的田地中，选择 2 垄2\text{ 垄} 分别种植 A，B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求 A，B 两种作物的间隔不小于 6 垄6\text{ 垄}，则不同的选垄方法共有______种\text{种}.

1999 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17不等式★★☆☆☆
若正数 aa，bb 满足 ab=a+b+3ab = a + b + 3，则 abab 的取值范围是______.

1999 · 全国 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★☆☆
α\alpha，β\beta 是两个不同的平面，mm，nn 是平面 α\alpha 及 β\beta 之外的两条不同直线. 给出四个论断：
① m⊥nm\perp n； ② α⊥β\alpha\perp\beta； ③ n⊥βn\perp\beta； ④ m⊥αm\perp\alpha.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______.

1999 · 全国 · 理 · 第 18 题 · 填空题

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19不等式★★★★☆
解不等式：3log⁡ax−2<2log⁡ax−1\sqrt{3\log_{a}x-2}<2\log_{a}x-1（a>0a>0，a≠1a\neq 1）.

1999 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20复数★★★★☆
设复数 z=3cos⁡θ+i⋅2sin⁡θz=3\cos\theta+\mathrm{i}\cdot 2\sin\theta，求函数 y=θ−arg⁡zy=\theta-\arg z（0<θ<π20<\theta<\frac{\pi}{2}）的最大值以及对应的 θ\theta 值.

1999 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21立体几何初步★★★★☆
如图，已知正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，点 EE 在棱 D1DD_{1}D 上，截面 EAC∥D1BEAC\parallel D_{1}B，且面 EACEAC 与底面 ABCDABCD 所成的角为 45∘45^{\circ}，AB=aAB=a.
(1) 求截面 EACEAC 的面积； (2) 求异面直线 A1B1A_{1}B_{1} 与 ACAC 之间的距离； (3) 求三棱锥 B1−EACB_{1}-EAC 的体积.

1999 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
如图为一台冷轧机的示意图. 冷轧机由若干对轧辊组成. 带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.
(1) 输入带钢的厚度为 α\alpha，输出带钢的厚度为 β\beta，若每对轧辊的减薄率不超过 r0r_0，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊（单对轧辊减薄率 =输入该对的带钢厚度−从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度=\frac{\text{输入该对的带钢厚度}-\text{从该对输出的带钢厚度}}{\text{输入该对的带钢厚度}}）？ (2) 已知一台冷轧机共有 44 对减薄率为 20%20\% 的轧辊，所有轧辊周长均为 1600 mm1600 \mathrm{~mm}. 若第 kk 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为 LkL_k. 为了便于检修，请计算 L1L_1，L2L_2，L3L_3 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.

1999 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23数列★★★★★
已知函数 y=f(x)y=f(x) 的图象是自原点出发的一条折线. 当 n⩽y⩽n+1n\leqslant y\leqslant n+1（n=0n=0，11，22，⋯\cdots）时，该图象是斜率为 bnb^n 的线段（其中正常数 b≠1b\neq 1），设数列 {xn}\{x_n\} 由 f(xn)=nf(x_n)=n（n=1n=1，22，⋯\cdots）定义.
(1) 求 x1x_1，x2x_2 和 xnx_n 的表达式； (2) 求 f(x)f(x) 的表达式，并写出其定义域； (3) 证明：y=f(x)y=f(x) 的图象与 y=xy=x 的图象没有横坐标大于 11 的交点.

1999 · 全国 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24解析几何★★★★★
如图，给出定点 A(a,0)A(a,0)（a>0a>0）和直线 l ⁣:x=−1l\colon x=-1. BB 是直线 ll 上的动点，∠BOA\angle BOA 的角平分线交 ABAB 于点 CC. 求点 CC 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 aa 值的关系.

1999 · 全国 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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