(1) 设 $a_1$，$a_2$，$\ldots$，$a_n$ 是各项均不为零的 $n$（$n \geqslant 4$）项等差数列，且公差 $d \neq 0$. 若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，

(i) 当 $n = 4$ 时，求 $\frac{a_1}{d}$ 的数值； (ii) 求 $n$ 的所有可能值. (2) 求证：对于给定的正整数 $n$（$n \geqslant 4$），存在一个各项及公差都不为零的等差数列 $b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_n$，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列.

已知函数 $f_1(x) = 3^{|x-p_1|}$，$f_2(x) = 2 \cdot 3^{|x-p_2|}$（$x \in \mathbf{R}$，$p_1$，$p_2$ 为常数）. 函数 $f(x)$ 定义为：对每个给定的实数 $x$，.

(1) 求 $f(x) = f_1(x)$ 对所有实数 $x$ 成立的充分必要条件（用 $p_1$，$p_2$ 表示）； (2) 设 $a$，$b$ 是两个实数，满足 $a < b$，且 $p_1$，$p_2 \in (a, b)$. 若 $f(a) = f(b)$，求证：$f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的单调增区间的长度之和为 $\frac{b-a}{2}$.（闭区间 $[m, n]$ 的长度定义为 $n-m$）