在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$. $A$ 为 $\Gamma$ 的上顶点，$P$ 为 $\Gamma$ 上异于上，下顶点的动点，$M$ 为 $x$ 轴正半轴上的动点.

(1) 若 $P$ 在第一象限，且 $\lvert OP\rvert=\sqrt2$，求 $P$ 的坐标； (2) 设 $P\left(\dfrac85,\dfrac35\right)$，若以 $A$，$P$，$M$ 为顶点的三角形是直角三角形，求 $M$ 的横坐标； (3) 若 $\lvert MA\rvert=\lvert MP\rvert$，直线 $AQ$ 与 $\Gamma$ 交于另一点 $C$，且 $\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{PQ}=4\overrightarrow{PM}$，求直线 $AQ$ 的方程.

设定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足：对于任意的 $x_1$，$x_2\in\mathbf{R}$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)\le f(x_2)$.

(1) 若 $f(x)=ax^3+1$，求 $a$ 的取值范围； (2) 若 $f(x)$ 为周期函数，证明：$f(x)$ 是常值函数； (3) 设 $f(x)$ 恒大于零，$g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上，恒大于零的周期函数，$M$ 是 $g(x)$ 的最大值. 函数 $h(x)=f(x)g(x)$. 证明：“$h(x)$ 是周期函数”的充要条件是“$f(x)$ 是常值函数”.