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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={1,2,3,4}A=\{1,2,3,4\}，集合 B={3,4,5}B=\{3,4,5\}，则 A∩B=‾A\cap B=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 上海 · 第 1 题 · 填空题

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02计数原理与组合数学★☆☆☆☆
若排列数 A6m=6×5×4\mathrm A_6^m=6\times5\times4，则 m=‾m=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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03不等式★☆☆☆☆
不等式 x−1x>1\dfrac{x-1}{x}>1 的解集为______.

2017 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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04立体几何初步★☆☆☆☆
已知球的体积为 36π36\pi，则该球主视图的面积等于______.

2017 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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05复数★★☆☆☆
已知复数 zz 满足 z+3z=0z+\dfrac3z=0，则 ∣z∣=‾\lvert z\rvert=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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06解析几何★☆☆☆☆
设双曲线 x29−y2b2=1\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0）的焦点为 F1F_1，F2F_2，PP 为该双曲线上的一点，若 ∣PF1∣=5\lvert PF_1\rvert=5，则 ∣PF2∣=‾\lvert PF_2\rvert=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 上海 · 第 6 题 · 填空题

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07立体几何初步★☆☆☆☆
如图，以长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的顶点 DD 为坐标原点，过 DD 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系. 若 DB1→\overrightarrow{DB_1} 的坐标为 (4,3,2)(4,3,2)，则 AC1→\overrightarrow{AC_1} 的坐标是______.

2017 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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08函数与初等函数★★★☆☆
定义在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的函数 y=f(x)y=f(x) 的反函数为 y=f−1(x)y=f^{-1}(x). 若
g(x)={3x−1,x≤0,f(x),x>0,g(x)=\begin{cases} 3^x-1,&x\le 0,\\ f(x),&x>0, \end{cases}
为奇函数，则 f−1(x)=2f^{-1}(x)=2 的解为______.

2017 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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09概率与统计★★★☆☆
已知四个函数：
① y=−xy=-x； ② y=−1xy=-\dfrac1x； ③ y=x3y=x^3； ④ y=x12y=x^{\frac12}.
从中任选 22 个，则事件“所选 22 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为______.

2017 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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10数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\}，其中 an=n2a_n=n^2，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，{bn}\{b_n\} 的项是互不相等的正整数. 若对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，{bn}\{b_n\} 的第 ana_n 项都等于 {an}\{a_n\} 的第 bnb_n 项，则 lg⁡(b1b4b9b16)lg⁡(b1b2b3b4)=‾\dfrac{\lg(b_1b_4b_9b_{16})}{\lg(b_1b_2b_3b_4)}=\underline{\hspace{2em}}.

2017 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★★★☆
设 α1\alpha_1，α2∈R\alpha_2\in\mathbf{R}，且 12+sin⁡α1+12+sin⁡(2α2)=2\dfrac1{2+\sin\alpha_1}+\dfrac1{2+\sin(2\alpha_2)}=2，则 ∣10π−α1−α2∣\lvert10\pi-\alpha_1-\alpha_2\rvert 的最小值等于______.

2017 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★★☆
如图，用 3535 个单位正方形拼成一个矩形，点 P1P_1，P2P_2，P3P_3，P4P_4 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合 Ω={P1,P2,P3,P4}\Omega=\{P_1,P_2,P_3,P_4\}，点 P∈ΩP\in\Omega，过 PP 作直线 lPl_P，使得不在 lPl_P 上的“▲”的点分布在 lPl_P 的两侧. 用 D1(lP)D_1(l_P) 和 D2(lP)D_2(l_P) 分别表示 lPl_P 一侧和另一侧的“▲”的点到 lPl_P 的距离之和. 若过 PP 的直线 lPl_P 中有且只有一条满足 D1(lP)=D2(lP)D_1(l_P)=D_2(l_P)，则 Ω\Omega 中所有这样的 PP 为______.

2017 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★☆☆☆☆
关于 xx，yy 的二元一次方程组
{x+5y=0,2x+3y=4\begin{cases} x+5y=0,\\ 2x+3y=4 \end{cases}
的系数行列式 DD 为（ ）
A.
∣0543∣\left|\begin{matrix}0&5\\ 4&3\end{matrix}\right|
B.
∣1024∣\left|\begin{matrix}1&0\\ 2&4\end{matrix}\right|
C.
∣1523∣\left|\begin{matrix}1&5\\ 2&3\end{matrix}\right|
D.
∣6054∣\left|\begin{matrix}6&0\\ 5&4\end{matrix}\right|

2017 · 上海 · 第 13 题 · 选择题

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14数列★☆☆☆☆
在数列 {an}\{a_n\} 中，an=(−12)na_n=\left(-\dfrac12\right)^n，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，则 lim⁡n→∞an\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n（ ）
A.
−12-\dfrac12
B.
00
C.
12\dfrac12
D.
不存在

2017 · 上海 · 第 14 题 · 选择题

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15数列★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为实常数，数列 {xn}\{x_n\} 的通项 xn=an2+bn+cx_n=an^2+bn+c，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，则“存在 k∈N∗k\in\mathbf{N}^*，使得 x100+kx_{100+k}，x200+kx_{200+k}，x300+kx_{300+k} 成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A.
a≥0a\ge0
B.
b≤0b\le0
C.
c=0c=0
D.
a−2b+c=0a-2b+c=0

2017 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C1:x236+y24=1C_1:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1 和 C2:x2+y29=1C_2:x^2+\dfrac{y^2}{9}=1. PP 为 C1C_1 上的动点，QQ 为 C2C_2 上的动点，ww 是 OP→⋅OQ→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ} 的最大值. 记 Ω={(P,Q)∣P 在 C1 上，Q 在 C2 上，且OP→⋅OQ→=w}\Omega=\{(P,Q)\mid P\text{ 在 }C_1\text{ 上，}Q\text{ 在 }C_2\text{ 上，且}\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=w\}，则 Ω\Omega 中元素个数为（ ）
A.
22个
B.
44个
C.
88个
D.
含有无穷个元素

2017 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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17立体几何初步★★☆☆☆
如图，直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的底面为直角三角形，两直角边 ABAB 和 ACAC 的长分别为 44 和 22，侧棱 AA1AA_1 的长为 55.
(1) 求三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_1B_1C_1 的体积； (2) 设 MM 是 BCBC 中点，求直线 A1MA_1M 与平面 ABCABC 所成角的大小.

2017 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡2x−sin⁡2x+12f(x)=\cos^2x-\sin^2x+\dfrac12，x∈(0,π)x\in(0,\pi).
(1) 求 f(x)f(x) 的单调递增区间； (2) 设 △ABC\triangle ABC 为锐角三角形，角 AA 所对边 a=19a=\sqrt{19}，角 BB 所对边 b=5b=5. 若 f(A)=0f(A)=0，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2017 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
根据预测，某地第 nn（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 ana_n 和 bnb_n（单位：辆），其中
an={5n4+15,1≤n≤3,−10n+470,n≥4,bn=n+5a_n=\begin{cases} 5n^4+15,&1\le n\le 3,\\ -10n+470,&n\ge4, \end{cases}\quad b_n=n+5
，第 nn 个月底的共享单车的保有量是前 nn 个月的累计投放量与累计损失量的差.
(1) 求该地区第 44 个月底的共享单车的保有量； (2) 已知该地共享单车停放点第 nn 个月底的单车容纳量 Sn=−4(n−46)2+8800S_n=-4(n-46)^2+8800（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

2017 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 Γ:x24+y2=1\Gamma:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1. AA 为 Γ\Gamma 的上顶点，PP 为 Γ\Gamma 上异于上，下顶点的动点，MM 为 xx 轴正半轴上的动点.
(1) 若 PP 在第一象限，且 ∣OP∣=2\lvert OP\rvert=\sqrt2，求 PP 的坐标； (2) 设 P(85,35)P\left(\dfrac85,\dfrac35\right)，若以 AA，PP，MM 为顶点的三角形是直角三角形，求 MM 的横坐标； (3) 若 ∣MA∣=∣MP∣\lvert MA\rvert=\lvert MP\rvert，直线 AQAQ 与 Γ\Gamma 交于另一点 CC，且 AQ→=2AC→\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AC}，PQ→=4PM→\overrightarrow{PQ}=4\overrightarrow{PM}，求直线 AQAQ 的方程.

2017 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
设定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 满足：对于任意的 x1x_1，x2∈Rx_2\in\mathbf{R}，当 x1<x2x_1<x_2 时，都有 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2).
(1) 若 f(x)=ax3+1f(x)=ax^3+1，求 aa 的取值范围； (2) 若 f(x)f(x) 为周期函数，证明：f(x)f(x) 是常值函数； (3) 设 f(x)f(x) 恒大于零，g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上，恒大于零的周期函数，MM 是 g(x)g(x) 的最大值. 函数 h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x). 证明：“h(x)h(x) 是周期函数”的充要条件是“f(x)f(x) 是常值函数”.

2017 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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