设 $f(x)$ 是定义在区间 $(1,+\infty)$ 上的函数，其导函数为 $f'(x)$. 如果存在实数 $a$ 和函数 $h(x)$，其中 $h(x)$ 对任意的 $x\in(1,+\infty)$ 都有 $h(x)>0$，使得 $f'(x)=h(x)\left(x^2-ax+1\right)$，则称函数 $f(x)$ 具有性质 $P(a)$.

(1) 设函数 $f(x)=\ln x+\frac{b+2}{x+1}$（$x>1$），其中 $b$ 为实数.

(i) 求证：函数 $f(x)$ 具有性质 $P(b)$； (ii) 求函数 $f(x)$ 的单调区间. (2) 已知函数 $g(x)$ 具有性质 $P(2)$，给定 $x_1$，$x_2\in(1,+\infty)$，$x_1<x_2$，设 $m$ 为实数，$\alpha=mx_1+(1-m)x_2$，$\beta=(1-m)x_1+mx_2$，且 $\alpha>1$，$\beta>1$，若 $|g(\alpha)-g(\beta)|<|g(x_1)-g(x_2)|$，求 $m$ 的取值范围.