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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={−1,1,3}A=\{-1,1,3\}，B={a+2,a2+4}B=\{a+2,a^2+4\}，A∩B={3}A\cap B=\{3\}，则实数 a=a=______.

2010 · 江苏 · 第 1 题 · 填空题

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02复数★☆☆☆☆
设复数 zz 满足 z(2−3i)=6+4iz(2-3\mathrm{i})=6+4\mathrm{i}（其中 i\mathrm{i} 为虚数单位），则 zz 的模为______.

2010 · 江苏 · 第 2 题 · 填空题

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03概率与统计★☆☆☆☆
盒子中有大小相同的 33 只白球，11 只黑球，若从中随机地摸出两只球，则它们颜色不同的概率是______.

2010 · 江苏 · 第 3 题 · 填空题

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04概率与统计★☆☆☆☆
某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间 [5,40][5,40] 中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的 100100 根中，有______ 根棉花纤维的长度小于 20 mm20 \mathrm{~mm}.

2010 · 江苏 · 第 4 题 · 填空题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=x(ex+ae−x)f(x)=x\left(\mathrm{e}^x+a\mathrm{e}^{-x}\right)，x∈Rx\in\mathbf{R}，是偶函数，则实数 aa 的值为______.

2010 · 江苏 · 第 5 题 · 填空题

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06解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知双曲线 x24−y212=1\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1 上一点 MM 的横坐标为 33，则点 MM 到此双曲线的右焦点的距离为______.

2010 · 江苏 · 第 6 题 · 填空题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
如图是一个算法流程图，则输出 SS 的值是______.

2010 · 江苏 · 第 7 题 · 填空题

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08导数及其应用★★★☆☆
函数 y=x2y=x^2（x>0x>0）的图象在点 (ak,ak2)\left(a_k,a_k^2\right) 处的切线与 xx 轴交点的横坐标为 ak+1a_{k+1}，其中 k∈N∗k\in\mathbf{N}^*. 若 a1=16a_1=16，则 a1+a3+a5a_1+a_3+a_5 的值是______.

2010 · 江苏 · 第 8 题 · 填空题

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09解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知圆 x2+y2=4x^2+y^2=4 上有且仅有四个点到直线 12x−5y+c=012x-5y+c=0 的距离为 11，则实数 cc 的取值范围是______.

2010 · 江苏 · 第 9 题 · 填空题

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10三角函数★★★☆☆
定义在区间 (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) 上的函数 y=6cos⁡xy=6\cos x 的图象与 y=5tan⁡xy=5\tan x 的图象交于点 PP，过点 PP 作 xx 轴的垂线，垂足为 P1P_1，直线 PP1PP_1 与 y=sin⁡xy=\sin x 的图象交于点 P2P_2，则线段 P1P2P_1P_2 的长为______.

2010 · 江苏 · 第 10 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★★☆
已知函数
f(x)={x2+1,x⩾0,1,x<0,f(x)=\begin{cases} x^2+1,&x\geqslant 0,\\ 1,&x<0, \end{cases}
则满足不等式 f(1−x2)>f(2x)f(1-x^2)>f(2x) 的 xx 的取值范围是______.

2010 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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12不等式★★★☆☆
设实数 xx，yy 满足 3⩽xy2⩽83\leqslant xy^2\leqslant 8，4⩽x2y⩽94\leqslant \frac{x^2}{y}\leqslant 9，则 x3y4\frac{x^3}{y^4} 的最大值是______.

2010 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★★★☆
在锐角 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，若 ba+ab=6cos⁡C\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=6\cos C，则 tan⁡Ctan⁡A+tan⁡Ctan⁡B\frac{\tan C}{\tan A}+\frac{\tan C}{\tan B} 的值是______.

2010 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★★☆
将边长为 1 m1 \mathrm{~m} 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 s=(梯形的周长)2梯形的面积s=\dfrac{\left(\text{梯形的周长}\right)^2}{\text{梯形的面积}}，则 ss 的最小值是______.

2010 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 A(−1,−2)A(-1,-2)，B(2,3)B(2,3)，C(−2,−1)C(-2,-1).
(1) 求以线段 ABAB，ACAC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2) 设实数 tt 满足 (AB→−tOC→)⋅OC→=0\left(\overrightarrow{AB}-t\overrightarrow{OC}\right)\cdot \overrightarrow{OC}=0，求 tt 的值.

2010 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PD⊥PD \perp 平面 ABCDABCD，PD=DC=BC=1PD=DC=BC=1，AB=2AB=2，AB∥DCAB \parallel DC，∠BCD=90∘\angle BCD=90^\circ.
(1) 求证：PC⊥BCPC \perp BC； (2) 求点 AA 到平面 PBCPBC 的距离.

2010 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★★☆
某兴趣小组测量电视塔 AEAE 的高度 HH（单位：m\mathrm{m}）. 如示意图，垂直放置的标杆 BCBC 的高度 h=4 mh=4 \mathrm{~m}，仰角 ∠ABE=α\angle ABE=\alpha，∠ADE=β\angle ADE=\beta.
(1) 该小组已经测得一组 α\alpha，β\beta 的值，算出了 tan⁡α=1.24\tan\alpha=1.24，tan⁡β=1.20\tan\beta=1.20，请据此算出 HH 的值； (2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 dd（单位：m\mathrm{m}），使 α\alpha 与 β\beta 之差较大，可以提高测量精度. 若电视塔实际高度为 125 m125 \mathrm{~m}，试问 dd 为多少时，α−β\alpha-\beta 最大.

2010 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，如图，已知椭圆 x29+y25=1\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 的左、右顶点为 AA，BB，右焦点为 FF. 过点 T(t,m)T(t,m) 的直线 TATA，TBTB 与此椭圆分别交于点 M(x1,y1)M(x_1,y_1)，N(x2,y2)N(x_2,y_2)，其中 m>0m>0，y1>0y_1>0，y2<0y_2<0.
(1) 设动点 PP 满足 PF2−PB2=4PF^2-PB^2=4，求点 PP 的轨迹； (2) 设 x1=2x_1=2，x2=13x_2=\frac{1}{3}，求点 TT 的坐标； (3) 设 t=9t=9，求证：直线 MNMN 必过 xx 轴上的一定点（其坐标与 mm 无关）.

2010 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设各项均为正数的数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n. 已知 2a2=a1+a32a_2=a_1+a_3，数列 {Sn}\left\{\sqrt{S_n}\right\} 是公差为 dd 的等差数列.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式（用 nn，dd 表示）； (2) 设 cc 为实数，对满足 m+n=3km+n=3k 且 m≠nm\neq n 的任意正整数 mm，nn，kk，不等式 Sm+Sn>cSkS_m+S_n>cS_k 都成立. 求证：cc 的最大值为 92\frac{9}{2}.

2010 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设 f(x)f(x) 是定义在区间 (1,+∞)(1,+\infty) 上的函数，其导函数为 f′(x)f'(x). 如果存在实数 aa 和函数 h(x)h(x)，其中 h(x)h(x) 对任意的 x∈(1,+∞)x\in(1,+\infty) 都有 h(x)>0h(x)>0，使得 f′(x)=h(x)(x2−ax+1)f'(x)=h(x)\left(x^2-ax+1\right)，则称函数 f(x)f(x) 具有性质 P(a)P(a).
(1) 设函数 f(x)=ln⁡x+b+2x+1f(x)=\ln x+\frac{b+2}{x+1}（x>1x>1），其中 bb 为实数.
(i) 求证：函数 f(x)f(x) 具有性质 P(b)P(b)； (ii) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间. (2) 已知函数 g(x)g(x) 具有性质 P(2)P(2)，给定 x1x_1，x2∈(1,+∞)x_2\in(1,+\infty)，x1<x2x_1<x_2，设 mm 为实数，α=mx1+(1−m)x2\alpha=mx_1+(1-m)x_2，β=(1−m)x1+mx2\beta=(1-m)x_1+mx_2，且 α>1\alpha>1，β>1\beta>1，若 ∣g(α)−g(β)∣<∣g(x1)−g(x2)∣|g(\alpha)-g(\beta)|<|g(x_1)-g(x_2)|，求 mm 的取值范围.

2010 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
如图，ABAB 是 ⊙O\odot O 的直径，DD 为 ⊙O\odot O 上一点，过点 DD 作 ⊙O\odot O 的切线交 ABAB 延长线于点 CC. 若 DA=DCDA=DC，求证：AB=2BCAB=2BC.

2010 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21不等式★★★☆☆
设 aa，bb 是非负实数，求证：a3+b3⩾ab(a2+b2)a^3+b^3\geqslant \sqrt{ab}\left(a^2+b^2\right).

2010 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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21解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，圆 ρ=2cos⁡θ\rho=2\cos\theta 与直线 3ρcos⁡θ+4ρsin⁡θ+a=03\rho\cos\theta+4\rho\sin\theta+a=0 相切，求实数 aa 的值.

2010 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，A(0,0)A(0,0)，B(−2,0)B(-2,0)，C(−2,1)C(-2,1)，设 kk 为非零实数. 矩阵
M=(k001)M=\begin{pmatrix}k&0\\0&1\end{pmatrix}
，
N=(0110)N=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
，点 AA，BB，CC 在矩阵 MNMN 对应的变换下得到的点分别为 A1A_1，B1B_1，C1C_1，△A1B1C1\triangle A_1B_1C_1 的面积是 △ABC\triangle ABC 面积的 22 倍，求实数 kk 的值.

2010 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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22概率与统计★★★☆☆
某工厂生产甲，乙两种产品. 甲产品的一等品率为 80%80\%，二等品率为 20%20\%；乙产品的一等品率为 90%90\%，二等品率为 10%10\%. 生产 11 件甲产品，若是一等品则获得利润 44 万元，若是二等品则亏损 11 万元；生产 11 件乙产品，若是一等品则获得利润 66 万元，若是二等品则亏损 22 万元. 设生产各种产品相互独立.
(1) 记 XX（单位：万元）为生产 11 件甲产品和 11 件乙产品可获得的总利润，求 XX 的分布列； (2) 求生产 44 件甲产品所获得的利润不少于 1010 万元的概率.

2010 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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