(1) 已知椭圆 $\Gamma$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），$A(0, b)$，$B(0, -b)$ 和 $Q(a, 0)$ 为 $\Gamma$ 的三个顶点. 若点 $M$ 满足 $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{AB}\right)$，求点 $M$ 的坐标； (2) 设直线 $l_{1}: y = k_{1}x + p$ 交椭圆 $\Gamma$ 于 $C$，$D$ 两点，交直线 $l_{2}: y = k_{2}x$ 于点 $E$. 若 $k_{1} \cdot k_{2} = -\frac{b^{2}}{a^{2}}$，证明：$E$ 为 $CD$ 的中点； (3) 设点 $P$ 在椭圆 $\Gamma$ 内且不在 $x$ 轴上，如何作过 $PQ$ 中点 $F$ 的直线 $l$，使得 $l$ 与椭圆 $\Gamma$ 两个交点 $P_{1}$，$P_{2}$ 满足 $\overrightarrow{PP_{1}} + \overrightarrow{PP_{2}} = \overrightarrow{PQ}$？令 $a = 10$，$b = 5$，点 $P$ 的坐标是 $(-8, -1)$. 若椭圆 $\Gamma$ 上的点 $P_{1}$，$P_{2}$ 满足 $\overrightarrow{PP_{1}} + \overrightarrow{PP_{2}} = \overrightarrow{PQ}$，求点 $P_{1}$，$P_{2}$ 的坐标.