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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={1,3,m}A = \{1, 3, m\}，B={3,4}B = \{3, 4\}，A∪B={1,2,3,4}A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}，则 m=‾m =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 上海 · 文 · 第 1 题 · 填空题

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02不等式★☆☆☆☆
不等式 2−xx+4>0\frac{2 - x}{x + 4} > 0 的解集是______.

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03三角函数★☆☆☆☆
行列式
∣cos⁡π6sin⁡π6sin⁡π6cos⁡π6∣\begin{vmatrix} \cos \frac{\pi}{6} & \sin \frac{\pi}{6} \\ \sin \frac{\pi}{6} & \cos \frac{\pi}{6} \end{vmatrix}
的值是______.

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04复数★☆☆☆☆
若复数 z=1−2iz = 1 - 2\mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位），则 z⋅z‾+z=‾z \cdot \overline{z} + z =\underline{\hspace{2em}}.

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05概率与统计★☆☆☆☆
将一个总体分为 A，B，C 三层，其个体数之比为 5:3:25:3:2. 若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从 C 中抽取______ 个个体.

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06立体几何初步★☆☆☆☆
已知四棱锥 P−ABCDP - ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，且 PA=8PA = 8，则该四棱锥的体积是______.

2010 · 上海 · 文 · 第 6 题 · 填空题

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07解析几何★☆☆☆☆
圆 C:x2+y2−2x−4y+4=0C: x^{2} + y^{2} - 2x - 4y + 4 = 0 的圆心到直线 l:3x+4y+4=0l: 3x + 4y + 4 = 0 的距离 d=‾d =\underline{\hspace{2em}}.

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08解析几何★☆☆☆☆
动点 PP 到点 F(2,0)F(2,0) 的距离与它到直线 x+2=0x + 2 = 0 的距离相等，则点 PP 的轨迹方程为______.

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09指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=log⁡3(x+3)f(x) = \log_3(x + 3) 的反函数的图象与 yy 轴的交点坐标是______.

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10概率与统计★★☆☆☆
从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 2 张，则“抽出的 2 张均为红桃”的概率为______.（结果用最简分数表示）

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
2010 年上海世博会园区每天 9：00 开园，20：00 停止入园. 在右边的框图中，SS 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，aa 表示整点报道前 1 个小时内入园人数. 则空白的执行框内应填入______.

2010 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★★☆☆
在 nn 行 nn 列矩阵
(123⋯n−2n−1n234⋯n−1n1345⋯n12⋮⋱⋮⋱⋮⋯⋮n12⋯n−3n−2n−1)\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n - 2 & n - 1 & n\\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n - 1 & n & 1\\ 3 & 4 & 5 & \cdots & n & 1 & 2\\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \cdots & \vdots\\ n & 1 & 2 & \cdots & n - 3 & n - 2 & n - 1 \end{pmatrix}
中，记位于第 ii 行第 jj 列的数为 aija_{ij}，ii，j=1j = 1，22，⋯\cdots，nn. 当 n=9n = 9 时， a11+a22+a33+⋯+a99=a_{11} + a_{22} + a_{33} + \cdots + a_{99} =______.

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13解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系中，双曲线 Γ\Gamma 的中心在原点，它的一个焦点坐标为 (5,0)(\sqrt{5},0)，e1=(2,1)\boldsymbol{e}_1 = (2,1)，e2=(2,−1)\boldsymbol{e}_2 = (2,-1) 分别是两条渐近线的方向向量. 任取双曲线 Γ\Gamma 上的点 PP，若 OP→=ae1+be2\overrightarrow{OP} = a\boldsymbol{e}_1 + b\boldsymbol{e}_2（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}），则 aa，bb 满足的一个等式是______.

2010 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
将直线 l1:x+y−1=0l_1: x + y - 1 = 0，l2:nx+y−n=0l_2: nx + y - n = 0，l3:x+ny−n=0l_3: x + ny - n = 0 （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，n⩾2n \geqslant 2）围成的三角形面积记为 SnS_n. 则 lim⁡n→∞Sn=\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n =______.

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15不等式★★☆☆☆
满足线性约束条件
{2x+y⩽3,x+2y⩽3,x⩾0,y⩾0\begin{cases} 2x + y \leqslant 3,\\ x + 2y \leqslant 3,\\ x \geqslant 0,\\ y \geqslant 0 \end{cases}
的目标函数 z=x+yz = x + y 的最大值是（ ）
A.
11
B.
32\frac{3}{2}
C.
22
D.
33

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16集合与逻辑基础★★☆☆☆
“x=2kπ+π4x = 2k\pi + \frac{\pi}{4}（k∈Zk \in \mathbf{Z}）”是“tan⁡x=1\tan x = 1”成立的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

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17函数与初等函数★★★☆☆
若 x0x_0 是方程 lg⁡x+x=2\lg x + x = 2 的解，则 x0x_0 属于区间（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(1,1.25)(1, 1.25)
C.
(1.25,1.75)(1.25, 1.75)
D.
(1.75,2)(1.75, 2)

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18三角函数★★☆☆☆
若 △ABC\triangle ABC 的三个内角满足 sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C=5:11:13\sin A: \sin B: \sin C = 5:11:13，则 △ABC\triangle ABC（ ）
A.
一定是锐角三角形
B.
一定是直角三角形
C.
一定是钝角三角形
D.
可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

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19指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，化简：lg⁡(cos⁡x⋅tan⁡x+1−2sin⁡2x2)+lg⁡[2cos⁡(x−π4)]−lg⁡(1+sin⁡2x)\lg\left(\cos x \cdot \tan x + 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right) + \lg\left[\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right] - \lg(1 + \sin 2x).

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20函数与初等函数★★★☆☆
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米9.6\text{ 米} 铁丝，再用 S 平方米S\text{ 平方米} 塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
(1) 当圆柱底面半径 rr 取何值时，SS 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到 0.01 平方米0.01\text{ 平方米}）； (2) 若要制作一个如图放置的、底面半径为 0.3 米0.3\text{ 米} 的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.

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21数列★★★★☆
(1) 已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 Sn=n−5an−85S_{n} = n - 5a_{n} - 85，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，证明：{an−1}\{a_{n} - 1\} 是等比数列； (2) 求数列 {Sn}\{S_{n}\} 的通项公式，并求出使得 Sn+1>SnS_{n+1} > S_{n} 成立的最小正整数 nn.

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22三角函数★★★★☆
(1) 若实数 xx，yy，mm 满足 ∣x−m∣<∣y−m∣|x - m| < |y - m|，则称 xx 比 yy 接近 mm. 若 x2−1x^{2} - 1 比 33 接近 00，求 xx 的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数 aa，bb，证明：a2b+ab2a^{2}b + ab^{2} 比 a3+b3a^{3} + b^{3} 接近 2abab2ab\sqrt{ab}； (3) 已知函数 f(x)f(x) 的定义域 D={x∣x≠kπ,k∈Z,x∈R}D = \{x \mid x \neq k\pi, k \in \mathbf{Z}, x \in \mathbf{R}\}. 任取 x∈Dx \in D，f(x)f(x) 等于 1+sin⁡x1 + \sin x 和 1−sin⁡x1 - \sin x 中接近 00 的那个值. 写出函数 f(x)f(x) 的解析式，并指出它的奇偶性，最小正周期，最小值和单调性（结论不要求证明）.

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23解析几何★★★★★
(1) 已知椭圆 Γ\Gamma 的方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），A(0,b)A(0, b)，B(0,−b)B(0, -b) 和 Q(a,0)Q(a, 0) 为 Γ\Gamma 的三个顶点. 若点 MM 满足 AM→=12(AQ→+AB→)\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AQ} + \overrightarrow{AB}\right)，求点 MM 的坐标； (2) 设直线 l1:y=k1x+pl_{1}: y = k_{1}x + p 交椭圆 Γ\Gamma 于 CC，DD 两点，交直线 l2:y=k2xl_{2}: y = k_{2}x 于点 EE. 若 k1⋅k2=−b2a2k_{1} \cdot k_{2} = -\frac{b^{2}}{a^{2}}，证明：EE 为 CDCD 的中点； (3) 设点 PP 在椭圆 Γ\Gamma 内且不在 xx 轴上，如何作过 PQPQ 中点 FF 的直线 ll，使得 ll 与椭圆 Γ\Gamma 两个交点 P1P_{1}，P2P_{2} 满足 PP1→+PP2→=PQ→\overrightarrow{PP_{1}} + \overrightarrow{PP_{2}} = \overrightarrow{PQ}？令 a=10a = 10，b=5b = 5，点 PP 的坐标是 (−8,−1)(-8, -1). 若椭圆 Γ\Gamma 上的点 P1P_{1}，P2P_{2} 满足 PP1→+PP2→=PQ→\overrightarrow{PP_{1}} + \overrightarrow{PP_{2}} = \overrightarrow{PQ}，求点 P1P_{1}，P2P_{2} 的坐标.

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