已知函数 $f(x) = \ln (1 + x)$，$g(x) = kx$（$k \in \mathbf{R}$）.

(1) 证明：当 $x > 0$ 时，$f(x) < x$； (2) 证明：当 $k < 1$ 时，存在 $x_0 > 0$，使得对任意的 $x \in (0, x_0)$，恒有 $f(x) > g(x)$； (3) 确定 $k$ 的所有可能取值，使得存在 $t > 0$，对任意的 $x \in (0, t)$，恒有 $|f(x) - g(x)| < x^2$.