设函数 $f(x) = a^x + b^x - c^x$，其中 $c > a > 0$，$c > b > 0$.

(1) 记集合 $M = \{(a, b, c) \mid a, b, c$ 不能构成一个三角形的三条边长，且 $a = b\}$，则 $(a, b, c) \in M$ 所对应的 $f(x)$ 的零点的取值集合为______； (2) 若 $a$，$b$，$c$ 是 $\triangle ABC$ 的三条边长，则下列结论正确的是______.（写出所有正确结论的序号）

① $\forall x \in (-\infty, 1)$，$f(x) > 0$； ② $\exists x \in \mathbf{R}$，使 $a^{x}$，$b^{x}$，$c^{x}$ 不能构成一个三角形的三条边长； ③ 若 $\triangle ABC$ 为钝角三角形，则 $\exists x \in (1, 2)$，使 $f(x) = 0$.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，将从点 $M$ 出发沿纵、横方向到达点 $N$ 的任一路径称为 $M$ 到 $N$ 的一条“$L$ 路径”. 如图所示的路径 $MM_{1}M_{2}M_{3}N$ 与路径 $MN_{1}N$ 都是 $M$ 到 $N$ 的“$L$ 路径”. 某地有三个新建的居民区，分别位于平面 $xOy$ 内三点 $A(3,20)$，$B(-10,0)$，$C(14,0)$ 处. 现计划在 $x$ 轴上方区域（包含 $x$ 轴）内的某一点 $P$ 处修建一个文化中心.

(1) 写出点 $P$ 到居民区 $A$ 的“$L$ 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）； (2) 若以原点 $O$ 为圆心，半径为 $1$ 的圆的内部是保护区，“$L$ 路径”不能进入保护区，请确定点 $P$ 的位置，使其到三个居民区的“$L$ 路径”长度之和最小.

过抛物线 $E: x^{2} = 2py$（$p > 0$）的焦点 $F$ 作斜率分别为 $k_{1}$，$k_{2}$ 的两条不同的直线 $l_{1}$，$l_{2}$，且 $k_{1} + k_{2} = 2$，$l_{1}$ 与 $E$ 相交于点 $A$，$B$，$l_{2}$ 与 $E$ 相交于点 $C$，$D$. 以 $AB$，$CD$ 为直径的圆 $M$，圆 $N$（$M$，$N$ 为圆心）的公共弦所在的直线记为 $l$.

(1) 若 $k_{1} > 0$，$k_{2} > 0$，证明：$\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{FN} < 2p^{2}$； (2) 若点 $M$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为 $\frac{7\sqrt{5}}{5}$，求抛物线 $E$ 的方程.

已知 $a > 0$，函数 $f(x) = \left| \frac{x - a}{x + 2a} \right|$.

(1) 记 $f(x)$ 在区间 $[0, 4]$ 上的最大值为 $g(a)$，求 $g(a)$ 的表达式； (2) 是否存在 $a$，使函数 $y = f(x)$ 在区间 $(0, 4)$ 内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.