已知函数 $f(x)$（$x \in \mathbf{R}$）满足下列条件：对任意的实数 $x_1$，$x_2$ 都有 $\lambda(x_1 - x_2)^2 \leqslant (x_1 - x_2)[f(x_1) - f(x_2)]$ 和 $|f(x_1) - f(x_2)| \leqslant |x_1 - x_2|$. 其中 $\lambda$ 是大于$0$的常数. 设实数 $a_0$，$a$，$b$ 满足 $f(a_0) = 0$ 和 $b = a - \lambda f(a)$.

(1) 证明：$\lambda \leqslant 1$，并且不存在 $b_0 \neq a_0$，使得 $f(b_0) = 0$； (2) 证明：$(b - a_0)^2\leqslant (1 - \lambda^2)(a - a_0)^2$； (3) 证明：$[f(b)]^{2}\leqslant(1-\lambda^{2})[f(a)]^{2}$.