已知函数 $y = x + \frac{a}{x}$ 有如下性质：如果常数 $a > 0$，那么该函数在 $(0, \sqrt{a}]$ 上是减函数，在 $[\sqrt{a}, +\infty)$ 上是增函数.

(1) 如果函数 $y = x + \frac{2^{b}}{x}$（$x > 0$）的值域为 $[6, +\infty)$，求 $b$ 的值； (2) 研究函数 $y = x^{2} + \frac{c}{x^{2}}$ （常数 $c > 0$） 在定义域内的单调性，并说明理由； (3) 对函数 $y = x + \frac{a}{x}$ 和 $y = x^{2} + \frac{a}{x^{2}}$ （常数 $a > 0$） 作出推广，使它们都是你所推广的函数的情况. 研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 $F(x) = \left(x^{2} + \frac{1}{x}\right)^{n} + \left(\frac{1}{x^{2}} + x\right)^{n}$ （$n$ 是正整数）在区间 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上的最大值和最小值. （可利用你的研究结论）