(1) 设点 $P(x_0, y_0)$ 在直线 $x = m$（$y_0 \neq \pm m$，$0 < m < 1$）上，过点 $P$ 作双曲线 $x^2 - y^2 = 1$ 的两条切线 $PA$，$PB$. 切点为 $A$，$B$，定点 $M\left(\frac{1}{m}, 0\right)$. 过点 $A$ 作直线 $x - y = 0$ 的垂线. 垂足为 $N$，试求 $\triangle AMN$ 的重心 $G$ 所在的曲线方程； (2) 求证：$A$，$M$，$B$ 三点共线.

(1) 已知函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{\frac{ax}{ax + 8}}$，$x \in (0, +\infty)$. 当 $a = 8$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 对任意正数 $a$，证明：$1 < f(x) < 2$.