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01复数★☆☆☆☆
在复平面内，复数 z=sin⁡2+icos⁡2z = \sin 2 + \mathrm{i}\cos 2 对应的点位于（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2008 · 江西 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
定义集合运算： A∗B={z∣z=xy,x∈A,y∈B}A * B = \{z \mid z = xy, x \in A, y \in B\}. 设 A={1,2}A = \{1, 2\}，B={0,2}B = \{0, 2\}，则集合 A∗BA * B 的所有元素之和为（ ）
A.
00
B.
22
C.
33
D.
66

2008 · 江西 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★★☆☆
若函数 y=f(x)y = f(x) 的值域是 [12,3]\left[\frac{1}{2}, 3\right]，则函数 F(x)=f(x)+1f(x)F(x) = f(x) + \frac{1}{f(x)} 的值域是（ ）
A.
[12,3]\left[\frac{1}{2}, 3\right]
B.
[2,103]\left[2, \frac{10}{3}\right]
C.
[52,103]\left[\frac{5}{2}, \frac{10}{3}\right]
D.
[3,103]\left[3, \frac{10}{3}\right]

2008 · 江西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04导数及其应用★★☆☆☆
lim⁡x→1x+3−2x−1=\displaystyle \lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{\sqrt{x} - 1} = （ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
00
C.
−12-\frac{1}{2}
D.
不存在

2008 · 江西 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★★☆☆☆
在数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=2a_{1} = 2，an+1=an+ln⁡(1+1n)a_{n+1} = a_{n} + \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right)，则 an=a_{n} =（ ）
A.
2+ln⁡n2 + \ln n
B.
2+(n−1)ln⁡n2 + (n - 1)\ln n
C.
2+nln⁡n2 + n\ln n
D.
1+n+ln⁡n1 + n + \ln n

2008 · 江西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★★☆☆
函数 y=tan⁡x+sin⁡x−∣tan⁡x−sin⁡x∣y = \tan x + \sin x - |\tan x - \sin x| 在区间 (π2,3π2)\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right) 内的图象大致是 （ ）
A.
B.
C.
D.

2008 · 江西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
已知 F1F_{1}，F2F_{2} 是椭圆的两个焦点，满足 MF1→⋅MF2→=0\overrightarrow{MF_{1}} \cdot \overrightarrow{MF_{2}} = 0 的点 MM 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,12]\left(0, \frac{1}{2}\right]
C.
(0,22)\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
D.
[22,1)\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)

2008 · 江西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★★☆☆
(1+x3)6(1+1x4)10(1 + \sqrt[3]{x})^6\left(1 + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^{10} 展开式中的常数项为（ ）
A.
11
B.
4646
C.
42454245
D.
42464246

2008 · 江西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
若 0<a1<a20 < a_{1} < a_{2}，0<b1<b20 < b_{1} < b_{2}，且 a1+a2=b1+b2=1a_{1} + a_{2} = b_{1} + b_{2} = 1，则下列代数式中值最大的是（ ）
A.
a1b1+a2b2a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}
B.
a1a2+b1b2a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2}
C.
a1b2+a2b1a_{1}b_{2} + a_{2}b_{1}
D.
12\frac{1}{2}

2008 · 江西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★★☆
连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为 44 的球的两条弦 ABAB，CDCD 的长度分别等于 272\sqrt{7}，434\sqrt{3}，MM，NN 分别为 ABAB，CDCD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
① 弦 ABAB，CDCD 可能相交于点 MM； ② 弦 ABAB，CDCD 可能相交于点 NN； ③ MNMN 的最大值为 55； ④ MNMN 的最小值为 11.
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

2008 · 江西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★★☆☆
电子钟一天显示的时间是从 00:0000{:}00 到 23:5923{:}59. 每一时刻都由四个数字组成. 则一天中任一时刻显示的四个数字之和为 2323 的概率为（ ）
A.
1180\frac{1}{180}
B.
1288\frac{1}{288}
C.
1360\frac{1}{360}
D.
1480\frac{1}{480}

2008 · 江西 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2mx2−2(4−m)x+1f(x) = 2mx^2 - 2(4 - m)x + 1，g(x)=mxg(x) = mx，若对于任一实数 xx，f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的值至少有一个为正数，则实数 mm 的取值范围是（ ）
A.
(0,2)(0, 2)
B.
(0,8)(0, 8)
C.
(2,8)(2, 8)
D.
(−∞,0)(-\infty, 0)

2008 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13平面向量★★☆☆☆
直角坐标平面内三点 A(1,2)A(1,2)，B(3,−2)B(3,-2)，C(9,7)C(9,7)，若 EE，FF 为线段 BCBC 的三等分点，则 AE→⋅AF→=\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} =______.

2008 · 江西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14指数函数与对数函数★★★☆☆
不等式 2x−3x+1⩽122^{x - \frac{3}{x} + 1} \leqslant \frac{1}{2} 的解集为______.

2008 · 江西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
过抛物线 x2=2pyx^{2} = 2py （p>0p > 0）的焦点 FF 作倾斜角为 30∘30^{\circ} 的直线，与抛物线分别交于 AA，BB 两点（点 AA 在 yy 轴左侧），则 ∣AF∣∣FB∣=\frac{|AF|}{|FB|} =______.

2008 · 江西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
如图 1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 a 升a\text{ 升} 水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 PP. 如果将容器倒置，水面也恰好过点 PP（图 2）. 有下列四个命题：
① 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半； ② 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 PP； ③ 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 PP； ④ 若往容器内再注入 a 升a\text{ 升} 水，则容器恰好能装满.
其中真命题的代号是______.（写出所有真命题的代号）

2008 · 江西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，aa，bb，cc 分别为角 AA，BB，CC 所对的边长，a=23a = 2\sqrt{3}，tan⁡A+B2+tan⁡C2=4\tan \frac{A + B}{2} + \tan \frac{C}{2} = 4，sin⁡Bsin⁡C=cos⁡2A2\sin B \sin C = \cos^2 \frac{A}{2}，求 AA，BB 及 bb，cc.

2008 · 江西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施. 若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍1.0\text{ 倍}，0.9 倍0.9\text{ 倍}，0.8 倍0.8\text{ 倍} 的概率分别是 0.30.3，0.30.3，0.40.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.25 倍1.25\text{ 倍}，1.0 倍1.0\text{ 倍} 的概率分别是 0.50.5，0.50.5. 若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍1.2\text{ 倍}，1.0 倍1.0\text{ 倍}，0.88 倍0.88\text{ 倍} 的概率分别是 0.20.2，0.30.3，0.50.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.2 倍1.2\text{ 倍}，1.0 倍1.0\text{ 倍} 的概率分别是 0.40.4，0.60.6. 实施每种方案第一年与第二年相互独立，令 ξi\xi_i（i=1i = 1，22）表示方案 ii 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数.
(1) 写出 ξ1\xi_1，ξ2\xi_2 的分布列； (2) 实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？ (3) 不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到，恰好达到，超过灾前产量，预计利润分别为 10 万元10\text{ 万元}，15 万元15\text{ 万元}，20 万元20\text{ 万元}. 问实施哪种方案的平均利润更大？

2008 · 江西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
(1) 等差数列 {an}\{a_{n}\} 各项均为正整数，a1=3a_{1} = 3. 前 nn 项和为 SnS_{n}，等比数列 {bn}\{b_{n}\} 中，b1=1b_{1} = 1，且 b2S2=64b_{2}S_{2} = 64，{ban}\{b_{a_{n}}\} 是公比为 6464 的等比数列. 求 ana_{n} 与 bnb_{n}； (2) 证明：1S1+1S2+⋯+1Sn<34\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} + \cdots + \frac{1}{S_n} < \frac{3}{4}.

2008 · 江西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
(1) 如图，正三棱锥 O−ABCO - ABC 的三条侧棱 OAOA，OBOB，OCOC 两两垂直，且长度均为 22. EE，FF 分别是 ABAB，ACAC 的中点，HH 是 EFEF 的中点，过 EFEF 的一个平面与侧棱 OAOA，OBOB，OCOC 或其延长线分别相交于 A1A_{1}，B1B_{1}，C1C_{1}，已知 OA1=32OA_{1} = \frac{3}{2}. 证明： B1C1⊥B_{1}C_{1}\perp 平面 OAHOAH； (2) 求二面角 O−A1B1−C1O - A_{1}B_{1} - C_{1} 的大小.

2008 · 江西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
(1) 设点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 在直线 x=mx = m（y0≠±my_0 \neq \pm m，0<m<10 < m < 1）上，过点 PP 作双曲线 x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 的两条切线 PAPA，PBPB. 切点为 AA，BB，定点 M(1m,0)M\left(\frac{1}{m}, 0\right). 过点 AA 作直线 x−y=0x - y = 0 的垂线. 垂足为 NN，试求 △AMN\triangle AMN 的重心 GG 所在的曲线方程； (2) 求证：AA，MM，BB 三点共线.

2008 · 江西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
(1) 已知函数 f(x)=11+x+11+a+axax+8f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{\frac{ax}{ax + 8}}，x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty). 当 a=8a = 8 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 对任意正数 aa，证明：1<f(x)<21 < f(x) < 2.

2008 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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