已知数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 满足： $b_{n+1}a_{n} + b_{n}a_{n+1} = (-2)^{n} + 1$，$b_{n} = \frac{3 + (-1)^{n-1}}{2}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$，且 $a_{1} = 2$.

(1) 求 $a_{2}$，$a_{3}$ 的值； (2) 设 $c_{n} = a_{2n + 1} - a_{2n - 1}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$，证明：数列 $\{c_{n}\}$ 是等比数列； (3) 设 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，证明 $\frac{S_{1}}{a_{1}} + \frac{S_{2}}{a_{2}} + \ldots + \frac{S_{2n-1}}{a_{2n-1}} + \frac{S_{2n}}{a_{2n}} \leqslant n - \frac{1}{3}$ （$n \in \mathbf{N}^{*}$）.