已知 $a > 0$，且 $a \neq 1$，函数 $f(x) = \log_a(1 - a^x)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的定义域，并判断 $f(x)$ 的单调性； (2) 若 $n \in \mathbf{N}^*$，求 $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{a^{f(n)}}{a^n + a}$； (3) 当 $a = \mathrm{e}$（$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数）时，设 $h(x) = (1 - \mathrm{e}^{f(x)})(x^2 - m + 1)$. 若函数 $h(x)$ 的极值存在，求实数 $m$ 的取值范围以及函数 $h(x)$ 的极值.

设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，对任意的正整数 $n$，都有 $a_{n} = 5S_{n} + 1$ 成立，记 $b_{n} = \frac{4 + a_{n}}{1 - a_{n}}$（$n \in \mathbf{N}^*$）.

(1) 求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式； (2) 记 $c_{n} = b_{2n} - b_{2n-1}$（$n \in \mathbf{N}^*$），设数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$，求证：对任意正整数 $n$ 都有 $T_{n} < \frac{3}{2}$； (3) 设数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $R_{n}$. 已知正实数 $\lambda$ 满足：对任意正整数 $n$，$R_{n} \leqslant \lambda n$ 恒成立，求 $\lambda$ 的最小值.