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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 S={x∣∣x∣<5}S = \{x \mid |x| < 5\}，T={x∣x2+4x−21<0}T = \{x \mid x^2 + 4x - 21 < 0\}，则 S∩T=S \cap T =（ ）
A.
{x∣−7<x<−5}\{x\mid -7 < x < -5\}
B.
{x∣3<x<5}\{x\mid 3 < x < 5\}
C.
{x∣−5<x<3}\{x\mid -5 < x < 3\}
D.
{x∣−7<x<5}\{x\mid -7 < x < 5\}

2009 · 四川 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数
f(x)={a+log⁡2x当 x⩾2 时x2−4x−2当 x<2 时f(x) = \begin{cases} a + \log_2 x & \text{当 } x \geqslant 2 \text{ 时}\\ \frac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{当 } x < 2 \text{ 时} \end{cases}
在点 x=2x = 2 处连续，则常数 aa 的值是（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2009 · 四川 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★☆☆☆☆
复数 (1+2i)23−4i\frac{(1 + 2\mathrm{i})^2}{3 - 4\mathrm{i}} 的值是（ ）
A.
−1-1
B.
11
C.
−i-\mathrm{i}
D.
i\mathrm{i}

2009 · 四川 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(x−π2)f(x) = \sin \left(x - \frac{\pi}{2}\right)（x∈Rx \in \mathbf{R}），下面结论错误的是（ ）
A.
函数 f(x)f(x) 的最小正周期为 2π2\pi
B.
函数 f(x)f(x) 在区间 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上是增函数
C.
函数 f(x)f(x) 的图象关于直线 x=0x = 0 对称
D.
函数 f(x)f(x) 是奇函数

2009 · 四川 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
如图，已知六棱锥 P−ABCDEFP - ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥PA \perp 平面 ABCABC，PA=2ABPA = 2AB，则下列结论正确的是（ ）
A.
PB⊥ADPB \perp AD
B.
平面 PAB⊥PAB \perp 平面 PBCPBC
C.
直线 BC∥BC \parallel 平面 PAEPAE
D.
直线 PDPD 与平面 ABCABC 所成的角为 45∘45^{\circ}

2009 · 四川 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知 aa，bb，cc，dd 为实数，且 c>dc > d. 则“a>ba > b”是“a−c>b−da - c > b - d”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 四川 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 x22−y2b2=1\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（b>0b > 0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，其一条渐近线方程为 y=xy = x，点 P(3,y0)P(\sqrt{3}, y_0) 在该双曲线上，则 PF1→⋅PF2→=\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} =（ ）
A.
−12-12
B.
−2-2
C.
00
D.
44

2009 · 四川 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，在半径为 3 的球面上有 AA，BB，CC 三点，∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}，BA=BCBA = BC，球心 OO 到平面 ABCABC 的距离是 322\frac{3\sqrt{2}}{2}，则 BB，CC 两点的球面距离是（ ）
A.
π3\frac{\pi}{3}
B.
π\pi
C.
4π3\frac{4\pi}{3}
D.
2π2\pi

2009 · 四川 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
已知直线 l1:4x−3y+6=0l_1: 4x - 3y + 6 = 0 和直线 l2:x=−1l_2: x = -1，抛物线 y2=4xy^2 = 4x 上一动点 PP 到直线 l1l_1 和直线 l2l_2 的距离之和的最小值是（ ）
A.
22
B.
33
C.
115\frac{11}{5}
D.
3716\frac{37}{16}

2009 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10★☆☆☆☆
某企业生产甲，乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 AA 原料 3 吨3\text{ 吨}，BB 原料 2 吨2\text{ 吨}；生产每吨乙产品要用 AA 原料 1 吨1\text{ 吨}，BB 原料 3 吨3\text{ 吨}. 销售每吨甲产品可获得利润 5 万元5\text{ 万元}，每吨乙产品可获得利润 3 万元3\text{ 万元}. 该企业在一个生产周期内消耗 AA 原料不超过 13 吨13\text{ 吨}，BB 原料不超过 18 吨18\text{ 吨}，那么该企业可获得最大利润是（ ）
A.
12 万元12\text{ 万元}
B.
20 万元20\text{ 万元}
C.
25 万元25\text{ 万元}
D.
27 万元27\text{ 万元}

2009 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★★★☆
3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A.
360360
B.
188188
C.
216216
D.
9696

2009 · 四川 · 理 · 第 11 题 · 多选题

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12函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是定义在实数集 R\mathbf{R} 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 xx 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x)xf(x + 1) = (1 + x)f(x)，则 f(f(52))f\left(f\left(\frac{5}{2}\right)\right) 的值是（ ）
A.
00
B.
12\frac{1}{2}
C.
11
D.
52\frac{5}{2}

2009 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x−12x)6\left(2x - \frac{1}{2x}\right)^6 的展开式的常数项是______.（用数字作答）

2009 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
若 ⊙O1:x2+y2=5\odot O_1: x^{2} + y^{2} = 5 与 ⊙O2:(x−m)2+y2=20\odot O_2: (x - m)^{2} + y^{2} = 20（m∈Rm \in \mathbf{R}）相交于 AA，BB 两点，且两圆在点 AA 处的切线互相垂直，则线段 ABAB 的长度是______.

2009 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，已知正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 的各条棱长都相等，MM 是侧棱 CC1CC_{1} 的中点，则异面直线 AB1AB_{1} 和 BMBM 所成的角的大小是______.

2009 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★★☆☆
设 VV 是已知平面 MM 上所有向量的集合. 对于映射 f:V→Vf: V \to V，a∈V\boldsymbol{a} \in V，记 a\boldsymbol{a} 的象为 f(a)f(\boldsymbol{a}). 若映射 f:V→Vf: V \to V 满足：对所有 a\boldsymbol{a}，b∈V\boldsymbol{b} \in V 及任意实数 λ\lambda，μ\mu 都有 f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)f(\lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{b}) = \lambda f(\boldsymbol{a}) + \mu f(\boldsymbol{b})，则 ff 称为平面 MM 上的线性变换. 现有下列命题：
① 设 ff 是平面 MM 上的线性变换，则 f(0)=0f(0) = 0； ② 对 a∈V\boldsymbol{a} \in V，设 f(a)=2af(\boldsymbol{a}) = 2\boldsymbol{a}，则 ff 是平面 MM 上的线性变换； ③ 若 e\boldsymbol{e} 是平面 MM 上的单位向量，对 a∈V\boldsymbol{a} \in V，设 f(a)=a−ef(\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{a} - \boldsymbol{e}，则 ff 是平面 MM 上的线性变换； ④ 设 ff 是平面 MM 上的线性变换，a\boldsymbol{a}，b∈V\boldsymbol{b} \in V，若 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 共线，则 f(a)f(\boldsymbol{a})，f(b)f(\boldsymbol{b}) 也共线.
其中真命题是______.（写出所有真命题的序号）

2009 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AA，BB 为锐角，角 AA，BB，CC 所对应的边分别为 aa，bb，cc，且 cos⁡2A=35\cos 2A = \frac{3}{5}，sin⁡B=1010\sin B = \frac{\sqrt{10}}{10}.
(1) 求 A+BA + B 的值； (2) 若 a−b=2−1a - b = \sqrt{2} - 1，求 aa，bb，cc 的值.

2009 · 四川 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张2000\text{ 万张} 的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）. 某旅游公司组织了一个有 3636 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 34\frac{3}{4} 是省外游客，其余是省内游客. 在省外游客中有 13\frac{1}{3} 持金卡，在省内游客中有 23\frac{2}{3} 持银卡.
(1) 在该团中随机采访 33 名游客，求恰有 11 人持金卡且持银卡者少于 22 人的概率； (2) 在该团的省内游客中随机采访 33 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 ξ\xi，求 ξ\xi 的分布列及数学期望 E(ξ)E(\xi).

2009 · 四川 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，正方形 ABCDABCD 所在平面与平面四边形 ABEFABEF 所在平面互相垂直，△ABE\triangle ABE 是等腰直角三角形，AB=AEAB = AE，FA=FEFA = FE，∠AEF=45∘\angle AEF = 45^{\circ}.
(1) 求证： EF⊥EF \perp 平面 BCEBCE； (2) 设线段 CDCD 的中点为 PP，在直线 AEAE 上是否存在一点 MM，使得 PM∥PM \parallel 平面 BCEBCE？若存在，请指出点 MM 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3) 求二面角 F−BD−AF - BD - A 的大小.

2009 · 四川 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，离心率 e=22e = \frac{\sqrt{2}}{2}，右准线方程为 x=2x = 2.
(1) 求椭圆的标准方程； (2) 过点 F1F_{1} 的直线 ll 与该椭圆交于 MM，NN 两点，且 ∣F2M→+F2N→∣=2263\left|\overrightarrow{F_2M} + \overrightarrow{F_2N}\right| = \frac{2\sqrt{26}}{3}，求直线 ll 的方程.

2009 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21指数函数与对数函数★★★★★
已知 a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1，函数 f(x)=log⁡a(1−ax)f(x) = \log_a(1 - a^x).
(1) 求函数 f(x)f(x) 的定义域，并判断 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，求 lim⁡n→+∞af(n)an+a\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{a^{f(n)}}{a^n + a}； (3) 当 a=ea = \mathrm{e}（e\mathrm{e} 为自然对数的底数）时，设 h(x)=(1−ef(x))(x2−m+1)h(x) = (1 - \mathrm{e}^{f(x)})(x^2 - m + 1). 若函数 h(x)h(x) 的极值存在，求实数 mm 的取值范围以及函数 h(x)h(x) 的极值.

2009 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，对任意的正整数 nn，都有 an=5Sn+1a_{n} = 5S_{n} + 1 成立，记 bn=4+an1−anb_{n} = \frac{4 + a_{n}}{1 - a_{n}}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) 求数列 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 记 cn=b2n−b2n−1c_{n} = b_{2n} - b_{2n-1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），设数列 {cn}\{c_{n}\} 的前 nn 项和为 TnT_{n}，求证：对任意正整数 nn 都有 Tn<32T_{n} < \frac{3}{2}； (3) 设数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和为 RnR_{n}. 已知正实数 λ\lambda 满足：对任意正整数 nn，Rn⩽λnR_{n} \leqslant \lambda n 恒成立，求 λ\lambda 的最小值.

2009 · 四川 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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