如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点 $P$ 和居民区 $O$ 的公路，点 $P$ 所在的山坡面与山脚所在水平面 $\alpha$ 所成的二面角为 $\theta$（$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$），且 $\sin \theta = \frac{2}{5}$，点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离 $PH = 0.4\mathrm{~km}$. 沿山脚原有一段笔直的公路 $AB$ 可供利用，从点 $O$ 到山脚修路的造价为 $a\text{ 万元}/\mathrm{km}$，原有公路改建费用为 $\frac{a}{2}\text{ 万元}/\mathrm{km}$，当山坡上公路长度为 $l\mathrm{~km}$（$1 \leqslant l \leqslant 2$）时，其造价为 $(l^{2} + 1)a\text{ 万元}$，已知 $OA \perp AB$，$PB \perp AB$，$AB = 1.5\mathrm{~km}$，$OA = \sqrt{3}\mathrm{~km}$.

(1) 在 $AB$ 上求一点 $D$，使沿折线 $PDAO$ 修建公路的总造价最小； (2) 对于上一问得到的点 $D$，在 $DA$ 上求一点 $E$，使沿折线 $PDEO$ 修建公路的总造价最小； (3) 在 $AB$ 上是否存在两个不同的点 $D'$，$E'$，使沿折线 $PD'E'O$ 修建公路的总造价小于上一问得到的最小总造价，证明你的结论.

已知 $A_{n}(a_{n}, b_{n})$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）是曲线 $y = \mathrm{e}^{x}$ 上的点，$a_{1} = a$，$S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $S_{n}^{2} = 3n^{2}a_{n} + S_{n-1}^{2}$，$a_{n} \neq 0$，$n = 2$，$3$，$4$，$\cdots$.

(1) 证明：数列 $\left\{\frac{b_{n+2}}{b_n}\right\}$（$n \geqslant 2$）是常数数列； (2) 确定 $a$ 的取值集合 $M$，使 $a \in M$ 时，数列 $\{a_n\}$ 是单调递增数列； (3) 证明：当 $a \in M$ 时，弦 $A_{n} A_{n+1}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）的斜率随 $n$ 单调递增.