将函数 $y = \sqrt{4 + 6x - x^2} - 2$（$x \in [0, 6]$）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 $\theta$（$0 \leqslant \theta \leqslant \alpha$），得到曲线 $C$. 若对于每一个旋转角 $\theta$，曲线 $C$ 都是一个函数的图象，则 $\alpha$ 的最大值为______.

已知双曲线 $C: \frac{x^2}{2} - y^2 = 1$，设过点 $A(-3\sqrt{2}, 0)$ 的直线 $l$ 的方向向量 $\boldsymbol{e} = (1, k)$.

(1) 当直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线 $m$ 平行时，求直线 $l$ 的方程及 $l$ 与 $m$ 的距离； (2) 证明：当 $k > \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，在双曲线 $C$ 的右支上不存在点 $Q$，使之到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$.

已知 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$\{b_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列.

(1) 若 $a_n = 3n + 1$，是否存在 $m$，$k \in \mathbf{N}^*$，有 $a_m + a_{m+1} = a_k$？请说明理由； (2) 找出所有数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$，使对一切 $n \in \mathbf{N}^*$，$\frac{a_{n+1}}{a_n} = b_n$，并说明理由； (3) 若 $a_1 = 5$，$d = 4$，$b_1 = q = 3$，试确定所有的 $p$，使数列 $\{a_n\}$ 中存在某个连续 $p$ 项的和是数列 $\{b_n\}$ 中的一项，请证明.