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01复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 z(1+i)=1−iz(1 + \mathrm{i}) = 1 - \mathrm{i}（i\mathrm{i} 是虚数单位），则其共轭复数 z‾=\overline{z} =______.

2009 · 上海 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣x⩽1}A = \{x \mid x \leqslant 1\}，B={x∣x⩾α}B = \{x \mid x \geqslant \alpha\}，且 A∪B=RA \cup B = \mathbf{R}，则实数 α\alpha 的取值范围是______.

2009 · 上海 · 理 · 第 2 题 · 填空题

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03★☆☆☆☆
若行列式
∣45x1x3789∣\begin{vmatrix} 4 & 5 & x \\ 1 & x & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}
中，元素 44 的代数余子式大于 00，则 xx 满足的条件是______.

2009 · 上海 · 理 · 第 3 题 · 填空题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
某算法的程序框图如图所示，则输出量 yy 与输入量 xx 满足的关系式是______.

2009 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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05立体几何初步★★★☆☆
如图，若正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_1B_1C_1D_1 的底面边长为 22，高为 44，则异面直线 BD1BD_1 与 ADAD 所成角的大小是______. （结果用反三角函数表示）

2009 · 上海 · 理 · 第 5 题 · 填空题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 y=2cos⁡2x+sin⁡2xy = 2\cos^2 x + \sin 2x 的最小值是______.

2009 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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07概率与统计★★☆☆☆
某学校要从 55 名男生和 22 名女生中选出 22 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 ξ\xi 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 E(ξ)=E(\xi) =______. （结果用最简分数表示）

2009 · 上海 · 理 · 第 7 题 · 填空题

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08立体几何初步★★☆☆☆
已知三个球的半径 R1R_1，R2R_2，R3R_3 满足 R1+2R2=3R3R_1 + 2R_2 = 3R_3，则它们的表面积 S1S_1，S2S_2，S3S_3 满足的等量关系是______.

2009 · 上海 · 理 · 第 8 题 · 填空题

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09解析几何★★★☆☆
已知 F1F_1，F2F_2 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的两个焦点，PP 为椭圆 CC 上一点，且 PF1→⊥PF2→\overrightarrow{PF_1} \perp \overrightarrow{PF_2}，若 △PF1F2\triangle PF_1F_2 的面积为 99，则 b=b =______.

2009 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10解析几何★★★★☆
在极坐标系中，由三条直线 θ=0\theta = 0，θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}，ρcos⁡θ+ρsin⁡θ=1\rho \cos \theta + \rho \sin \theta = 1 围成图形的面积是______.

2009 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11不等式★★★★☆
当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，不等式 sin⁡πx2⩾kx\sin \frac{\pi x}{2} \geqslant kx 成立. 则实数 kk 的取值范围是______.

2009 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡x+tan⁡xf(x) = \sin x + \tan x，项数为 2727 的等差数列 {an}\{a_n\} 满足 an∈(−π2,π2)a_n \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)，且公差 d≠0d \neq 0. 若 f(a1)+f(a2)+⋯+f(a27)=0f(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_{27}) = 0，则当 k=k =______ 时，f(ak)=0f(a_k) = 0.

2009 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★★☆
某地街道呈现东—西，南—北向的网格状，相邻街距都为 11. 两街道相交的点称为格点. 若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 (−2,2)(-2, 2)，(3,1)(3, 1)，(3,4)(3, 4)，(−2,3)(-2, 3)，(4,5)(4, 5)，(6,6)(6, 6) 为报刊零售点. 请确定一个格点（除零售点外）为发行站，使 66 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短______.

2009 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★★★
将函数 y=4+6x−x2−2y = \sqrt{4 + 6x - x^2} - 2（x∈[0,6]x \in [0, 6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角 θ\theta（0⩽θ⩽α0 \leqslant \theta \leqslant \alpha），得到曲线 CC. 若对于每一个旋转角 θ\theta，曲线 CC 都是一个函数的图象，则 α\alpha 的最大值为______.

2009 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
“−2⩽a⩽2-2 \leqslant a \leqslant 2”是“实系数一元二次方程 x2+ax+1=0x^2 + ax + 1 = 0 有虚根”的（ ）
A.
必要不充分条件
B.
充分不必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2009 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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16概率与统计★☆☆☆☆
若事件 EE 与 FF 相互独立，且 P(E)=P(F)=14P(E) = P(F) = \frac{1}{4}，则 P(E∩F)P(E \cap F) 的值等于（ ）
A.
00
B.
116\frac{1}{16}
C.
14\frac{1}{4}
D.
12\frac{1}{2}

2009 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

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17概率与统计★★★★☆
在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续 1010 天，每天新增疑似病例不超过 77 人”. 根据过去 1010 天甲，乙，丙，丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A.
甲地：总体均值为 33，中位数为 44
B.
乙地：总体均值为 11，总体方差大于 00
C.
丙地：中位数为 22，众数为 33
D.
丁地：总体均值为 22，总体方差为 33

2009 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
过圆 C:(x−1)2+(y−1)2=1C: (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 的圆心作直线分别交 xx，yy 正半轴于点 AA，BB，△AOB\triangle AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 SI+SIV=SII+SIIIS_{\mathrm I} + S_{\mathrm{IV}} = S_{\mathrm{II}} + S_{\mathrm{III}}，则直线 ABAB 有（ ）
A.
00 条
B.
11 条
C.
22 条
D.
33 条

2009 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_1B_1C_1 中，AA1=BC=AB=2AA_1 = BC = AB = 2，AB⊥BCAB \perp BC，求二面角 B1−A1C−C1B_1 - A_1C - C_1 的大小.

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20函数与初等函数★★★★☆
有时可用函数
f(x)={0.1+15ln⁡aa−x,x⩽6,x−4.4x−4,x>6,f(x) = \begin{cases} 0.1 + 15 \ln \frac{a}{a - x}, & x \leqslant 6,\\ \frac{x - 4.4}{x - 4}, & x > 6, \end{cases}
描述学习某学科知识的掌握程度，其中 xx 表示某学科知识的学习次数（x∈N∗x \in \mathbf{N}^*），f(x)f(x) 表示对该学科知识的掌握程度，正实数 aa 与学科知识有关.
(1) 证明：当 x⩾7x \geqslant 7 时，掌握程度的增加量 f(x+1)−f(x)f(x + 1) - f(x) 总是下降； (2) 根据经验，学科甲，乙，丙对应的 aa 的取值范围分别为 (115,121](115, 121]，(121,127](121, 127]，(121,133](121, 133]. 当学习某学科知识 66 次时，掌握程度是 85%85\%，请确定相应的学科.

2009 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x22−y2=1C: \frac{x^2}{2} - y^2 = 1，设过点 A(−32,0)A(-3\sqrt{2}, 0) 的直线 ll 的方向向量 e=(1,k)\boldsymbol{e} = (1, k).
(1) 当直线 ll 与双曲线 CC 的一条渐近线 mm 平行时，求直线 ll 的方程及 ll 与 mm 的距离； (2) 证明：当 k>22k > \frac{\sqrt{2}}{2} 时，在双曲线 CC 的右支上不存在点 QQ，使之到直线 ll 的距离为 6\sqrt{6}.

2009 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★☆
已知函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 是 y=f(x)y = f(x) 的反函数. 定义：若对给定的实数 aa（a≠0a \neq 0），函数 y=f(x+a)y = f(x + a) 与 y=f−1(x+a)y = f^{-1}(x + a) 互为反函数，则称 y=f(x)y = f(x) 满足“aa 和性质”；若函数 y=f(ax)y = f(ax) 与 y=f−1(ax)y = f^{-1}(ax) 互为反函数，则称 y=f(x)y = f(x) 满足“aa 积性质”.
(1) 判断函数 g(x)=x2g(x) = x^2（x>0x > 0）是否满足“11 和性质”，并说明理由； (2) 求所有满足“22 和性质”的一次函数； (3) 设函数 y=f(x)y = f(x)（x>0x > 0）对任何 a>0a > 0 都满足“aa 积性质”，求 y=f(x)y = f(x) 的表达式.

2009 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23数列★★★★★
已知 {an}\{a_n\} 是公差为 dd 的等差数列，{bn}\{b_n\} 是公比为 qq 的等比数列.
(1) 若 an=3n+1a_n = 3n + 1，是否存在 mm，k∈N∗k \in \mathbf{N}^*，有 am+am+1=aka_m + a_{m+1} = a_k？请说明理由； (2) 找出所有数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\}，使对一切 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，an+1an=bn\frac{a_{n+1}}{a_n} = b_n，并说明理由； (3) 若 a1=5a_1 = 5，d=4d = 4，b1=q=3b_1 = q = 3，试确定所有的 pp，使数列 {an}\{a_n\} 中存在某个连续 pp 项的和是数列 {bn}\{b_n\} 中的一项，请证明.

2009 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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