已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的两个焦点分别为 $F_1(-c, 0)$ 和 $F_2(c, 0)$（$c > 0$），过点 $E\left(\frac{a^2}{c}, 0\right)$ 的直线与椭圆相交于 $A$，$B$ 两点，且 $F_1A \parallel F_2B$，$|F_1A| = 2|F_2B|$.

(1) 求椭圆的离心率. (2) 求直线 $AB$ 的斜率. (3) 设点 $C$ 与点 $A$ 关于坐标原点对称. 直线 $F_{2}B$ 上有一点 $H(m,n)$（$m \neq 0$）在 $\triangle AF_{1}C$ 的外接圆上，求 $\frac{n}{m}$ 的值.

已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$（$d \neq 0$），等比数列 $\{b_{n}\}$ 的公比为 $q$（$q > 1$）. 设 $S_{n} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n}$，$T_{n} = a_{1}b_{1} - a_{2}b_{2} + \cdots + (-1)^{n - 1}a_{n}b_{n}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$.

(1) 若 $a_1 = b_1 = 1$，$d = 2$，$q = 3$，求 $S_3$ 的值. (2) 若 $b_{1} = 1$，证明 $(1 - q)S_{2n} - (1 + q)T_{2n} = \frac{2dq(1 - q^{2n})}{1 - q^{2}}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$. (3) 若正整数 $n$ 满足 $2 \leqslant n \leqslant q$，设 $k_{1}$，$k_{2}$，$\cdots$，$k_{n}$ 和 $l_{1}$，$l_{2}$，$\cdots$，$l_{n}$ 是 $1$，$2$，$\cdots$，$n$ 的两个不同的排列，$c_{1} = a_{k_1} b_1 + a_{k_2} b_2 + \cdots + a_{k_n} b_n$，$c_{2} = a_{l_1} b_1 + a_{l_2} b_2 + \cdots + a_{l_n} b_n$，证明 $c_{1} \neq c_{2}$.