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18导数及其应用★★★★★
若函数 y=f(x)y=f(x) 在 x=x0x=x_{0} 处取得极大值或极小值，则称 x0x_{0} 为函数 y=f(x)y=f(x) 的极值点. 已知 aa，bb 是实数，且 11 和 −1-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bxf(x)=x^3+ax^2+bx 的两个极值点.
(1) 求 aa 和 bb 的值； (2) 设函数 g(x)g(x) 的导函数 g′(x)=f(x)+2g'(x)=f(x)+2，求 g(x)g(x) 的极值点； (3) 设 h(x)=f(f(x))−ch(x)=f(f(x))-c，其中 c∈[−2,2]c\in[-2,2]，求函数 y=h(x)y=h(x) 的零点个数.

2012 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★★
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a>b>0）的左、右焦点分别为 F1(−c,0)F_{1}(-c,0)，F2(c,0)F_{2}(c,0). 已知点 (1,e)(1,e) 和 (e,32)\left(e,\frac{\sqrt{3}}{2}\right) 都在椭圆上，其中 ee 为椭圆的离心率.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设 AA，BB 是椭圆上位于 xx 轴上方的两点，且直线 AF1AF_{1} 与直线 BF2BF_{2} 平行，AF2AF_{2} 与 BF1BF_{1} 交于点 PP.
(i) 若 AF1−BF2=62AF_{1}-BF_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}，求直线 AF1AF_{1} 的斜率； (ii) 求证：PF1+PF2PF_{1}+PF_{2} 是定值.

2012 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知各项均为正数的两个数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 满足：an+1=an+bnan2+bn2a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{\sqrt{a_n^2 + b_n^2}}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 设 bn+1=1+bnanb_{n+1} = 1 + \frac{b_n}{a_n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，求证：数列 {(bnan)2}\left\{\left(\frac{b_n}{a_n}\right)^2\right\} 是等差数列； (2) 设 bn+1=2⋅bnanb_{n+1} = \sqrt{2} \cdot \frac{b_n}{a_n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，且 {an}\{a_n\} 是等比数列，求 a1a_1 和 b1b_1 的值.

2012 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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23集合与逻辑基础★★★★★
设集合 Pn={1,2,⋯ ,n}P_n = \{1,2,\cdots,n\}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*. 记 f(n)f(n) 为同时满足下列条件的集合 AA 的个数：
① A⊆PnA \subseteq P_n； ② 若 x∈Ax \in A，则 2x∉A2x \notin A； ③ 若 x∈CPnAx \in C_{P_n}A，则 2x∉CPnA2x \notin C_{P_n}A.
(1) 求 f(4)f(4)； (2) 求 f(n)f(n) 的解析式（用 nn 表示）.

2012 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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