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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={1,2,4}A = \{1, 2, 4\}，B={2,4,6}B = \{2, 4, 6\}，则 A∪B=‾A \cup B =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 江苏 · 第 1 题 · 填空题

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02概率与统计★☆☆☆☆
某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是 3:3:43:3:4. 现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 5050 的样本. 则应从高二年级抽取______ 名学生.

2012 · 江苏 · 第 2 题 · 填空题

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03复数★☆☆☆☆
设 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，a+bi=11−7i1−2ia + b\mathrm{i} = \frac{11 - 7\mathrm{i}}{1 - 2\mathrm{i}}（i\mathrm{i} 为虚数单位），则 a+ba + b 的值为______.

2012 · 江苏 · 第 3 题 · 填空题

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04不等式★★☆☆☆
如图是一个算法流程图，则输出的 kk 的值是______.

2012 · 江苏 · 第 4 题 · 填空题

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05函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=1−2log⁡6xf(x)=\sqrt{1-2\log_{6}x} 的定义域为______.

2012 · 江苏 · 第 5 题 · 填空题

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06概率与统计★★☆☆☆
现有 1010 个数，它们能构成一个以 11 为首项，−3-3 为公比的等比数列，若从这 1010 个数中随机抽取一个数，则它小于 88 的概率是______.

2012 · 江苏 · 第 6 题 · 填空题

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07立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=AD=3 cmAB = AD = 3 \mathrm{~cm}，AA1=2 cmAA_{1} = 2 \mathrm{~cm}，则四棱锥 A−BB1D1DA-BB_{1}D_{1}D 的体积为______ cm3\mathrm{cm}^{3}.

2012 · 江苏 · 第 7 题 · 填空题

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08解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，若双曲线 x2m−y2m2+4=1\frac{x^2}{m} - \frac{y^2}{m^2 + 4} = 1 的离心率为 5\sqrt{5}，则 mm 的值为______.

2012 · 江苏 · 第 8 题 · 填空题

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09平面向量★★☆☆☆
如图，在矩形 ABCDABCD 中，AB=2AB = \sqrt{2}，BC=2BC = 2，点 EE 为 BCBC 的中点，点 FF 在边 CDCD 上，若 AB→⋅AF→=2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} = \sqrt{2}，则 AE→⋅BF→\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BF} 的值是______.

2012 · 江苏 · 第 9 题 · 填空题

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10函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上且周期为 22 的函数，且在区间 [−1,1][-1,1] 上，
f(x)={ax+1,−1⩽x<0,bx+2x+1,0⩽x⩽1,f(x)=\begin{cases} ax+1, & -1 \leqslant x < 0,\\ \frac{bx+2}{x+1}, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \end{cases}
其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}. 若 f(12)=f(32)f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)，则 a+3ba + 3b 的值为______.

2012 · 江苏 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★★☆☆
设 α\alpha 为锐角，若 cos⁡(α+π6)=45\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{5}，则 sin⁡(2α+π12)\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{12}\right) 的值为______.

2012 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，圆 CC 的方程为 x2+y2−8x+15=0x^2 + y^2 - 8x + 15 = 0，若直线 y=kx−2y = kx - 2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，11 为半径的圆与圆 CC 有公共点，则 kk 的最大值是______.

2012 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+ax+bf(x)=x^2+ax+b（aa，b∈Rb\in\mathbf{R}）的值域为 [0,+∞)[0,+\infty)，若关于 xx 的不等式 f(x)<cf(x)<c 的解集为 (m,m+6)(m,m+6)，则实数 cc 的值为______.

2012 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★★☆
已知正数 aa，bb，cc 满足 5c−3a⩽b⩽4c−a5c-3a \leqslant b \leqslant 4c-a，cln⁡b⩾a+cln⁡cc \ln b \geqslant a + c \ln c，则 ba\frac{b}{a} 的取值范围是______.

2012 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 AB→⋅AC→=3BA→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}.
(1) 求证：tan⁡B=3tan⁡A\tan B = 3\tan A. (2) 若 cos⁡C=55\cos C = \frac{\sqrt{5}}{5}，求 AA 的值.

2012 · 江苏 · 第 15 题 · 解答题

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC-A_{1}B_{1}C_{1} 中，A1B1=A1C1A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1}，DD，EE 分别是棱 BCBC，CC1CC_{1} 上的点（点 DD 不同于点 CC），且 AD⊥DEAD \perp DE，FF 为 B1C1B_{1}C_{1} 的中点. 求证：
(1) 平面 ADE⊥ADE \perp 平面 BCC1B1BCC_{1}B_{1}； (2) 直线 A1F∥A_{1}F \parallel 平面 ADEADE.

2012 · 江苏 · 第 16 题 · 解答题

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17函数与初等函数★★★★☆
如图，建立平面直角坐标系 xOyxOy，xx 轴在地平面上，yy 轴垂直于地平面，单位长度为 11 千米，某炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx−120(1+k2)x2y = kx - \frac{1}{20}(1+k^2)x^2（k>0k>0）表示的曲线上，其中 kk 与发射方向有关. 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1) 求炮的最大射程； (2) 设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.23.2 千米，试问它的横坐标 aa 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

2012 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★★
若函数 y=f(x)y=f(x) 在 x=x0x=x_{0} 处取得极大值或极小值，则称 x0x_{0} 为函数 y=f(x)y=f(x) 的极值点. 已知 aa，bb 是实数，且 11 和 −1-1 是函数 f(x)=x3+ax2+bxf(x)=x^3+ax^2+bx 的两个极值点.
(1) 求 aa 和 bb 的值； (2) 设函数 g(x)g(x) 的导函数 g′(x)=f(x)+2g'(x)=f(x)+2，求 g(x)g(x) 的极值点； (3) 设 h(x)=f(f(x))−ch(x)=f(f(x))-c，其中 c∈[−2,2]c\in[-2,2]，求函数 y=h(x)y=h(x) 的零点个数.

2012 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★★
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a>b>0）的左、右焦点分别为 F1(−c,0)F_{1}(-c,0)，F2(c,0)F_{2}(c,0). 已知点 (1,e)(1,e) 和 (e,32)\left(e,\frac{\sqrt{3}}{2}\right) 都在椭圆上，其中 ee 为椭圆的离心率.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设 AA，BB 是椭圆上位于 xx 轴上方的两点，且直线 AF1AF_{1} 与直线 BF2BF_{2} 平行，AF2AF_{2} 与 BF1BF_{1} 交于点 PP.
(i) 若 AF1−BF2=62AF_{1}-BF_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}，求直线 AF1AF_{1} 的斜率； (ii) 求证：PF1+PF2PF_{1}+PF_{2} 是定值.

2012 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知各项均为正数的两个数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 满足：an+1=an+bnan2+bn2a_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{\sqrt{a_n^2 + b_n^2}}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 设 bn+1=1+bnanb_{n+1} = 1 + \frac{b_n}{a_n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，求证：数列 {(bnan)2}\left\{\left(\frac{b_n}{a_n}\right)^2\right\} 是等差数列； (2) 设 bn+1=2⋅bnanb_{n+1} = \sqrt{2} \cdot \frac{b_n}{a_n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，且 {an}\{a_n\} 是等比数列，求 a1a_1 和 b1b_1 的值.

2012 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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21立体几何初步★★★☆☆
如图，ABAB 是圆 OO 的直径，DD，EE 为圆 OO 上位于 ABAB 异侧的两点，连接 BDBD 并延长至点 CC，使 BD=DCBD=DC，连接 ACAC，AEAE，DEDE. 求证：∠E=∠C\angle E=\angle C.

2012 · 江苏 · 第 21 题（A） · 解答题

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21立体几何初步★★★☆☆
已知矩阵 AA 的逆矩阵
A−1=[−143412−12]A^{-1}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\ \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}
，求矩阵 AA 的特征值.

2012 · 江苏 · 第 21 题（B） · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
在极坐标系中，已知圆 CC 经过点 P(2,π4)P\left(\sqrt{2},\frac{\pi}{4}\right)，圆心为直线 ρsin⁡(θ−π3)=−32\rho\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2} 与极轴的交点，求圆 CC 的极坐标方程.

2012 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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21不等式★★★☆☆
已知实数 xx，yy 满足：∣x+y∣<13|x+y|<\frac{1}{3}，∣2x−y∣<16|2x-y|<\frac{1}{6}，求证：∣y∣<518|y|<\frac{5}{18}.

2012 · 江苏 · 第 21 题（D） · 解答题

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22概率与统计★★★☆☆
设 ξ\xi 为随机变量，从棱长为 11 的正方体的 1212 条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0\xi=0；当两条棱平行时，ξ\xi 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1\xi=1.
(1) 求概率 P(ξ=0)P(\xi=0)； (2) 求 ξ\xi 的分布列，并求其数学期望 E(ξ)E(\xi).

2012 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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