在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$F$ 是抛物线 $C: x^2 = 2py$ （$p > 0$） 的焦点，$M$ 是抛物线 $C$ 上位于第一象限内的任意一点，过 $M$，$F$，$O$ 三点的圆的圆心为 $Q$，点 $Q$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为 $\frac{3}{4}$.

(1) 求抛物线 $C$ 的方程； (2) 是否存在点 $M$，使得直线 $MQ$ 与抛物线 $C$ 相切于点 $M$？ 若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由； (3) 若点 $M$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$，直线 $l: y = kx + \frac{1}{4}$ 与抛物线 $C$ 有两个不同的交点 $A$，$B$，$l$ 与圆 $Q$ 有两个不同的交点 $D$，$E$，求当 $\frac{1}{2} \leqslant k \leqslant 2$ 时，$|AB|^2 + |DE|^2$ 的最小值.

已知函数 $f(x) = \frac{\ln x + k}{\mathrm{e}^x}$（$k$ 为常数，$\mathrm{e} = 2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数），曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行.

(1) 求 $k$ 的值； (2) 求 $f(x)$ 的单调区间； (3) 设 $g(x) = (x^2 + x)f'(x)$，其中 $f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数. 证明：对任意 $x > 0$，$g(x) < 1 + \mathrm{e}^{-2}$.