一种作图工具如图 1 所示. $O$ 是滑槽 $AB$ 的中点，短杆 $ON$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $MN$ 通过 $N$ 处铰链与 $ON$ 连接，$MN$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $AB$ 滑动，且 $DN=ON=1$，$MN=3$. 当栓子 $D$ 在滑槽 $AB$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动一周（$D$ 不动时，$N$ 也不动），$M$ 处的笔尖画出的曲线记为 $C$. 以 $O$ 为原点，$AB$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系.

(1) 求曲线 $C$ 的方程； (2) 设动直线 $l$ 与两定直线 $l_1\colon x-2y=0$ 和 $l_2\colon x+2y=0$ 分别交于 $P$，$Q$ 两点. 若直线 $l$ 总与曲线 $C$ 有且只有一个公共点，试探究：$\triangle OPQ$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.

已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，$b_n=n\left(1+\dfrac1n\right)^n a_n$（$n\in\mathbf{N}_+$），$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数.

(1) 求函数 $f(x)=1+x-\mathrm{e}^x$ 的单调区间，并比较 $\left(1+\dfrac1n\right)^n$ 与 $\mathrm{e}$ 的大小； (2) 计算 $\dfrac{b_1}{a_1}$，$\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}$，$\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}$，由此推测计算 $\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}$ 的公式，并给出证明； (3) 令 $c_n=(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac1n}$，数列 $\{a_n\}$，$\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_n$，$T_n$，证明：$T_n<\mathrm{e} S_n$.