(1) 设 $b > 0$，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b$，$a_{n} = \frac{nba_{n-1}}{a_{n-1} + 2n - 2}$（$n \geqslant 2$）. 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式. (2) 证明：对于一切正整数 $n$，$a_{n} \leqslant \frac{b^{n+1}}{2^{n+1}} + 1$.

(1) 在平面直角坐标系 $xOy$ 上，给定抛物线 $L: y = \frac{1}{4} x^2$. 实数 $p$，$q$ 满足 $p^2 - 4q \geqslant 0$，$x_1$，$x_2$ 是方程 $x^2 - px + q = 0$ 的两根. 记 $\varphi(p, q) = \max \{|x_1|, |x_2|\}$. 过点 $A\left(p_0, \frac{1}{4} p_0^2\right)$（$p_0 \neq 0$）作 $L$ 的切线交 $y$ 轴于点 $B$. 证明：对线段 $AB$ 上的任一点 $Q(p, q)$，有 $\varphi(p, q) = \frac{|p_0|}{2}$. (2) 设 $M(a, b)$ 是定点，其中 $a$，$b$ 满足 $a^2 - 4b > 0$，$a \neq 0$. 过点 $M(a, b)$ 作 $L$ 的两条切线 $l_1$，$l_2$，切点分别为 $E\left(p_1, \frac{1}{4} p_1^2\right)$，$E'\left(p_2, \frac{1}{4} p_2^2\right)$，$l_1$，$l_2$ 与 $y$ 分别交于 $F$，$F'$. 线段 $EF$ 上异于两端点的点集记为 $X$. 证明：$M(a, b) \in X \Leftrightarrow |p_1| > |p_2| \Leftrightarrow \varphi(a, b) = \frac{|p_1|}{2}$. (3) 设 $D = \left\{(x, y) \mid y \leqslant x - 1, y \geqslant \frac{1}{4} (x + 1)^2 - \frac{5}{4}\right\}$. 当点 $(p, q)$ 取遍 D 时，求 $\varphi(p, q)$ 的最小值（记为 $\varphi_{\min}$）和最大值（记为 $\varphi_{\max}$）.