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01复数★☆☆☆☆
设复数 zz 满足 (1+i)z=2(1 + \mathrm{i})z = 2，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 z=z =（ ）
A.
1+i1 + \mathrm{i}
B.
1−i1 - \mathrm{i}
C.
2+2i2 + 2\mathrm{i}
D.
2−2i2 - 2\mathrm{i}

2011 · 广东 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={(x,y)∣x,yA = \{(x, y) | x, y 为实数，且 x2+y2=1}x^2 + y^2 = 1\}，B={(x,y)∣x,yB = \{(x, y) | x, y 为实数，且 y=x}y = x\}，则 A∩BA \cap B 的元素个数为（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2011 · 广东 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
若非零向量 aa，bb，cc 满足 a∥ba \parallel b 且 a⊥ca \perp c，则 c⋅(a+2b)=c \cdot (a + 2b) =（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
00

2011 · 广东 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 分别是 R\mathbf{R} 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A.
f(x)+∣g(x)∣f(x) + |g(x)| 是偶函数
B.
f(x)−∣g(x)∣f(x) - |g(x)| 是奇函数
C.
∣f(x)∣+g(x)|f(x)| + g(x) 是偶函数
D.
∣f(x)∣−g(x)|f(x)| - g(x) 是奇函数

2011 · 广东 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05不等式★★☆☆☆
已知平面直角坐标系 xOyxOy 上的区域 DD 由不等式组
{0⩽x⩽2,y⩽2,x⩽2y\begin{cases} 0 \leqslant x \leqslant \sqrt{2},\\ y \leqslant 2,\\ x \leqslant \sqrt{2} y \end{cases}
给定. 若 M(x,y)M(x,y) 为 DD 上的动点，点 AA 的坐标为 (2,1)(\sqrt{2},1)，则 z=OM→⋅OA→z = \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{OA} 的最大值为（ ）
A.
424\sqrt{2}
B.
323\sqrt{2}
C.
4
D.
3

2011 · 广东 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
甲，乙两队进行排球决赛. 现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军. 若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
35\frac{3}{5}
C.
23\frac{2}{3}
D.
34\frac{3}{4}

2011 · 广东 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ）
A.
636\sqrt{3}
B.
939\sqrt{3}
C.
12312\sqrt{3}
D.
18318\sqrt{3}

2011 · 广东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08集合与逻辑基础★★★☆☆
设 SS 是整数集 Z\mathbf{Z} 的非空子集，如果对于 ∀a\forall a，b∈Sb\in S，有 ab∈Sab \in S，则称 SS 关于数的乘法是封闭的. 若 TT，VV 是 Z\mathbf{Z} 的两个不相交的非空子集，T∪V=ZT \cup V = \mathbf{Z}. 且对于 ∀a\forall a，bb，c∈Tc\in T，有 abc∈Tabc \in T，∀x\forall x，yy，z∈Vz\in V，有 xyz∈Vxyz \in V. 则下列结论恒成立的是（ ）
A.
TT，VV 中至少有一个关于乘法是封闭的
B.
TT，VV 中至多有一个关于乘法是封闭的
C.
TT，VV 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D.
TT，VV 中每一个关于乘法都是封闭的

2011 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★☆☆☆
不等式 ∣x+1∣−∣x−3∣⩾0|x + 1| - |x - 3| \geqslant 0 的解集是______.

2011 · 广东 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
x(x−2x)7x\left(x - \frac{2}{x}\right)^7 的展开式中，x4x^4 的系数是______. （用数字作答）

2011 · 广东 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 前9项的和等于前4项的和. 若 a1=1a_{1} = 1，ak+a4=0a_{k} + a_{4} = 0，则 k=k =______.

2011 · 广东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12导数及其应用★★☆☆☆
函数 f(x)=x3−3x2+1f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 在 x=‾x =\underline{\hspace{2em}} 处取得极小值.

2011 · 广东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★★☆☆
某数学老师身高 176 cm176\mathrm{~cm}，他爷爷，父亲和儿子的身高分别是 173 cm173\mathrm{~cm}，170 cm170\mathrm{~cm} 和 182 cm182\mathrm{~cm}. 因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为______cm\mathrm{cm}.

2011 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
已知两曲线参数方程分别为
{x=5cos⁡θ,y=sin⁡θ,\begin{cases} x = \sqrt{5} \cos \theta,\\ y = \sin \theta, \end{cases}
（0⩽θ<π0 \leqslant \theta < \pi）和
{x=54t2,y=t,\begin{cases} x = \frac{5}{4} t^2,\\ y = t, \end{cases}
（t∈Rt \in \mathbf{R}），它们的交点坐标为______.

2011 · 广东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
如图，过圆 OO 外一点 PP 分别作圆的切线和割线，交于 AA，BB，且 PB=7PB = 7，CC 是圆上一点，使得 BC=5BC = 5，∠BAC=∠APB\angle BAC = \angle APB，则 AB=‾AB =\underline{\hspace{2em}}.

2011 · 广东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
(1) 已知函数 f(x)=2sin⁡(13x−π6)f(x) = 2\sin \left(\frac{1}{3} x - \frac{\pi}{6}\right)，x∈Rx \in \mathbf{R}. 求 f(5π4)f\left(\frac{5\pi}{4}\right) 的值. (2) 设 α\alpha，β∈[0,π2]\beta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]，f(3α+π2)=1013f\left(3\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{10}{13}，f(3β+2π)=65f(3\beta + 2\pi) = \frac{6}{5}，求 cos⁡(α+β)\cos (\alpha + \beta) 的值.

2011 · 广东 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
为了解甲，乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲，乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件和 5 件，测量产品中微量元素 xx，yy 的含量（单位：毫克）. 下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：
(1) 已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量. (2) 当产品中的微量元素 xx，yy 满足 x⩾175x \geqslant 175 且 y⩾75y \geqslant 75 时，该产品为优等品. 用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量. (3) 从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数 ξ\xi 的分布列及其均值（即数学期望）.

2011 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在锥体 P−ABCDP - ABCD 中，ABCDABCD 是边长为 1 的菱形，且 ∠DAB=60∘\angle DAB = 60^{\circ}，PA=PD=2PA = PD = \sqrt{2}，PB=2PB = 2，EE，FF 分别是 BCBC，PCPC 的中点.
(1) 证明：AD⊥AD \perp 平面 DEFDEF. (2) 求二面角 P−AD−BP-AD-B 的余弦值.

2011 · 广东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
(1) 设圆 CC 与两圆 (x+5)2+y2=4(x + \sqrt{5})^2 + y^2 = 4，(x−5)2+y2=4(x - \sqrt{5})^2 + y^2 = 4 中的一个内切，另一个外切. 求 CC 的圆心轨迹 LL 的方程. (2) 已知点 M(355,455)M\left(\frac{3\sqrt{5}}{5}, \frac{4\sqrt{5}}{5}\right)，F(5,0)F(\sqrt{5}, 0)，且 PP 为 LL 上动点，求 ∥MP∥−∥FP∥\|MP\| - \|FP\| 的最大值及此时点 PP 的坐标.

2011 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
(1) 设 b>0b > 0，数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=ba_{1} = b，an=nban−1an−1+2n−2a_{n} = \frac{nba_{n-1}}{a_{n-1} + 2n - 2}（n⩾2n \geqslant 2）. 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式. (2) 证明：对于一切正整数 nn，an⩽bn+12n+1+1a_{n} \leqslant \frac{b^{n+1}}{2^{n+1}} + 1.

2011 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21不等式★★★★★
(1) 在平面直角坐标系 xOyxOy 上，给定抛物线 L:y=14x2L: y = \frac{1}{4} x^2. 实数 pp，qq 满足 p2−4q⩾0p^2 - 4q \geqslant 0，x1x_1，x2x_2 是方程 x2−px+q=0x^2 - px + q = 0 的两根. 记 φ(p,q)=max⁡{∣x1∣,∣x2∣}\varphi(p, q) = \max \{|x_1|, |x_2|\}. 过点 A(p0,14p02)A\left(p_0, \frac{1}{4} p_0^2\right)（p0≠0p_0 \neq 0）作 LL 的切线交 yy 轴于点 BB. 证明：对线段 ABAB 上的任一点 Q(p,q)Q(p, q)，有 φ(p,q)=∣p0∣2\varphi(p, q) = \frac{|p_0|}{2}. (2) 设 M(a,b)M(a, b) 是定点，其中 aa，bb 满足 a2−4b>0a^2 - 4b > 0，a≠0a \neq 0. 过点 M(a,b)M(a, b) 作 LL 的两条切线 l1l_1，l2l_2，切点分别为 E(p1,14p12)E\left(p_1, \frac{1}{4} p_1^2\right)，E′(p2,14p22)E'\left(p_2, \frac{1}{4} p_2^2\right)，l1l_1，l2l_2 与 yy 分别交于 FF，F′F'. 线段 EFEF 上异于两端点的点集记为 XX. 证明：M(a,b)∈X⇔∣p1∣>∣p2∣⇔φ(a,b)=∣p1∣2M(a, b) \in X \Leftrightarrow |p_1| > |p_2| \Leftrightarrow \varphi(a, b) = \frac{|p_1|}{2}. (3) 设 D={(x,y)∣y⩽x−1,y⩾14(x+1)2−54}D = \left\{(x, y) \mid y \leqslant x - 1, y \geqslant \frac{1}{4} (x + 1)^2 - \frac{5}{4}\right\}. 当点 (p,q)(p, q) 取遍 D 时，求 φ(p,q)\varphi(p, q) 的最小值（记为 φmin⁡\varphi_{\min}）和最大值（记为 φmax⁡\varphi_{\max}）.

2011 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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