已知抛物线 $C: x^{2} = 2py$（$p > 0$）上一个点 $A(m,4)$ 到其焦点的距离为 $\frac{17}{4}$.

(1) 求 $p$ 与 $m$ 的值； (2) 设抛物线 $C$ 上一点 $P$ 的横坐标为 $t$（$t > 0$），过 $P$ 的直线交 $C$ 于另一点 $Q$，交 $x$ 轴于点 $M$，过点 $Q$ 作 $PQ$ 的垂线交 $C$ 于另一点 $N$. 若 $MN$ 是 $C$ 的切线，求 $t$ 的最小值.