设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_0 = 0$，$a_{n+1} = c a_n^3 + 1 - c$，$n \in \mathbf{N}^*$，其中 $c$ 为实数.

(1) 证明：$a_{n} \in [0,1]$ 对任意 $n \in \mathbf{N}^*$ 成立的充分必要条件是 $c \in [0,1]$； (2) 设 $0 < c < \frac{1}{3}$. 证明：$a_{n} \geqslant 1 - (3c)^{n-1}$，$n \in \mathbf{N}^*$； (3) 设 $0 < c < \frac{1}{3}$. 证明：$a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 > n + 1 - \frac{2}{1 - 3c}$，$n \in \mathbf{N}^*$.

设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）过点 $M(\sqrt{2}, 1)$. 且左焦点为 $F_1(-\sqrt{2}, 0)$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 当过点 $P(4,1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于两不同点 $A$，$B$ 时，在线段 $AB$ 上取点 $Q$，满足 $\left|\overrightarrow{AP}\right| \cdot \left|\overrightarrow{QB}\right| = \left|\overrightarrow{AQ}\right| \cdot \left|\overrightarrow{PB}\right|$，证明：点 $Q$ 总在某定直线上.