已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}$，其中 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底数.

(1) 证明： $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数； (2) 若关于 $x$ 的不等式 $m f(x) \leqslant \mathrm{e}^{-x} + m - 1$ 在 $(0, +\infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围； (3) 已知正数 $a$ 满足：存在 $x_0 \in [1, +\infty)$，使得 $f(x_0) < a(-x_0^3 + 3x_0)$ 成立. 试比较 $\mathrm{e}^{a - 1}$ 与 $a^{\mathrm{e} - 1}$ 的大小，并证明你的结论.

设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 若对任意正整数 $n$，总存在正整数 $m$，使得 $S_{n} = a_{m}$，则称 $\{a_{n}\}$ 是“$H$ 数列”.

(1) 若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=2^{n}$（$n\in \mathbf{N}^{*}$），证明： $\{a_{n}\}$ 是“$H$ 数列”； (2) 设$\{a_{n}\}$ 是等差数列，其首项 $a_{1} = 1$，公差 $d < 0$. 若 $\{a_{n}\}$ 是“$H$ 数列”，求 $d$ 的值； (3) 证明：对任意的等差数列 $\{a_{n}\}$，总存在两个“$H$ 数列” $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$，使得 $a_{n} = b_{n} + c_{n}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）成立.