已知函数 $f(x) = ax + \frac{b}{x} + c$（$a > 0$）的图象在点$(1, f(1))$处的切线方程为 $y = x - 1$.

(1) 用 $a$ 表示出 $b$，$c$； (2) 若 $f(x) \geqslant \ln x$ 在 $[1, +\infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围. (3) 证明： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \ln (n + 1) + \frac{n}{2(n + 1)}$（$n \geqslant 1$）.