已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$） 的上顶点为 $B$，左焦点为 $F$，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

(1) 求直线 $BF$ 的斜率； (2) 设直线 $BF$ 与椭圆交于点 $P$（$P$ 异于点 $B$），过点 $B$ 且垂直于 $BP$ 的直线与椭圆交于点 $Q$（$Q$ 异于点 $B$），直线 $PQ$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，$|PM| = \lambda |MQ|$.

(i) 求 $\lambda$ 的值； (ii) 若 $|PM| \sin \angle BQP = \frac{7\sqrt{5}}{9}$，求椭圆的方程.

已知函数 $f(x) = 4x - x^4$，$x \in \mathbf{R}$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 设曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$，曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y = g(x)$. 求证：对于任意的实数 $x$，都有 $f(x) \leqslant g(x)$； (3) 若方程 $f(x) = a$ （$a$ 为实数） 有两个正实数根 $x_1$，$x_2$，且 $x_1 < x_2$，求证：$x_2 - x_1 \leqslant -\frac{a}{3} + 4^{\frac{1}{3}}$.