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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知全集 U={1,2,3,4,5,6}U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}，集合 A={2,3,5}A = \{2, 3, 5\}，集合 B={1,3,4,6}B = \{1, 3, 4, 6\}，则集合 A∩∁UB=A \cap \complement_U B =（ ）
A.
{3}\{3\}
B.
{2,5}\{2, 5\}
C.
{1,4,6}\{1, 4, 6\}
D.
{2,3,5}\{2, 3, 5\}

2015 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{x−2⩽0,x−2y⩽0,x+2y−8⩽0,\begin{cases} x - 2 \leqslant 0,\\ x - 2y \leqslant 0,\\ x + 2y - 8 \leqslant 0, \end{cases}
则目标函数 z=3x+yz = 3x + y 的最大值为（ ）
A.
7
B.
8
C.
9
D.
14

2015 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 ii 的值为（ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5

2015 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 x∈Rx \in \mathbf{R}，则 “1<x<21 < x < 2” 是 “∣x−2∣<1|x - 2| < 1” 的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0） 的一焦点为 F(2,0)F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆 (x−2)2+y2=3(x - 2)^2 + y^2 = 3 相切，则双曲线的方程为（ ）
A.
x24−y29=1\frac{x^2}{4} -\frac{y^2}{9} = 1
B.
x213−y29=1\frac{x^2}{13} -\frac{y^2}{9} = 1
C.
x23−y2=1\frac{x^2}{3} - y^2 = 1
D.
x2−y23=1x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1

2015 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★☆☆☆
如图，在圆 OO 中，MM，NN 是弦 ABAB 的三等分点，弦 CDCD，CECE 分别经过点 MM，NN，若 CM=2CM = 2，MD=4MD = 4，CN=3CN = 3，则线段 NENE 的长为（ ）
A.
83\frac{8}{3}
B.
3
C.
103\frac{10}{3}
D.
52\frac{5}{2}

2015 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★★☆☆
已知定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)=2∣x−m∣−1f(x) = 2^{|x - m|} - 1 （mm 为实数） 为偶函数，记 a=f(log⁡0.53)a = f(\log_{0.5}3)，b=f(log⁡25)b = f(\log_2 5)，c=f(2m)c = f(2m)，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
a<b<ca < b < c
B.
c<a<bc < a < b
C.
a<c<ba < c < b
D.
c<b<ac < b < a

2015 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={2−∣x∣,x⩽2,(x−2)2,x>2,f(x) = \begin{cases} 2 - |x|, & x \leqslant 2,\\ (x - 2)^2, & x > 2, \end{cases}
函数 g(x)=3−f(2−x)g(x) = 3 - f(2 - x)，则函数 y=f(x)−g(x)y = f(x) - g(x) 的零点个数为（ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5

2015 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，计算 1−2i2+i\frac{1-2\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}} 的结果为______.

2015 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的三视图如图所示（单位：m\mathrm{m}），则该几何体的体积为______m3\mathrm{m}^{3}.

2015 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11导数及其应用★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=axln⁡xf(x) = ax \ln x，x∈(0,+∞)x \in (0, +\infty)，其中 aa 为实数，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导函数. 若 f′(1)=3f'(1) = 3，则 aa 的值为______.

2015 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 a>0a > 0，b>0b > 0，ab=8ab = 8，则当 aa 的值为______ 时，log⁡2a⋅log⁡2(2b)\log_2 a \cdot \log_2 (2b) 取得最大值.

2015 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
在等腰梯形 ABCDABCD 中，已知 AB∥DCAB \parallel DC，AB=2AB = 2，BC=1BC = 1，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^\circ. 点 EE 和 FF 分别在线段 BCBC 和 DCDC 上，且 BE→=23BC→\overrightarrow{BE} = \frac{2}{3} \overrightarrow{BC}，DF→=16DC→\overrightarrow{DF} = \frac{1}{6} \overrightarrow{DC}，则 AE→⋅AF→\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} 的值为______.

2015 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=sin⁡ωx+cos⁡ωxf(x) = \sin \omega x + \cos \omega x（ω>0\omega > 0），x∈Rx \in \mathbf{R}. 若函数 f(x)f(x) 在区间 (−ω,ω)(- \omega, \omega) 内单调递增，且函数 y=f(x)y = f(x) 的图象关于直线 x=ωx = \omega 对称，则 ω\omega 的值为______.

2015 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★☆☆☆
设甲，乙，丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27， 9， 18. 现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛.
(1) 求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数； (2) 将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4}，A5A_{5}，A6A_{6}. 现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛.
(i) 用所给编号列出所有可能的结果； (ii) 设 AA 为事件：“编号为 A5A_{5} 和 A6A_{6} 的两名运动员中至少有 1 人被抽到”，求事件 AA 发生的概率.

2015 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc. 已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 3153\sqrt{15}，b−c=2b - c = 2，cos⁡A=−14\cos A = -\frac{1}{4}.
(1) 求 aa 和 sin⁡C\sin C 的值； (2) 求 cos⁡(2A+π6)\cos\left(2A+\frac{\pi}{6}\right) 的值.

2015 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，已知 AA1⊥AA_{1} \perp 平面 ABCABC，BB1∥AA1BB_{1} \parallel AA_{1}，AB=AC=3AB = AC = 3，BC=25BC = 2\sqrt{5}，AA1=7AA_{1} = \sqrt{7}，BB1=27BB_{1} = 2\sqrt{7}，点 EE 和 FF 分别为 BCBC 和 A1CA_{1}C 的中点.
(1) 求证： EF∥EF \parallel 平面 A1B1BAA_{1}B_{1}BA； (2) 求证：平面 AEA1⊥AEA_{1} \perp 平面 BCB1BCB_{1}； (3) 求直线 A1B1A_{1}B_{1} 与平面 BCB1BCB_{1} 所成角的大小.

2015 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 是各项均为正数的等比数列，{bn}\{b_{n}\} 是等差数列，且 a1=b1=1a_{1} = b_{1} = 1，b2+b3=2a3b_{2} + b_{3} = 2a_{3}，a5−3b2=7a_{5} - 3b_{2} = 7.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 设 cn=anbnc_{n} = a_{n}b_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，求数列 {cn}\{c_{n}\} 的前 nn 项和.

2015 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★★
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的上顶点为 BB，左焦点为 FF，离心率为 55\frac{\sqrt{5}}{5}.
(1) 求直线 BFBF 的斜率； (2) 设直线 BFBF 与椭圆交于点 PP（PP 异于点 BB），过点 BB 且垂直于 BPBP 的直线与椭圆交于点 QQ（QQ 异于点 BB），直线 PQPQ 与 yy 轴交于点 MM，∣PM∣=λ∣MQ∣|PM| = \lambda |MQ|.
(i) 求 λ\lambda 的值； (ii) 若 ∣PM∣sin⁡∠BQP=759|PM| \sin \angle BQP = \frac{7\sqrt{5}}{9}，求椭圆的方程.

2015 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=4x−x4f(x) = 4x - x^4，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 设曲线 y=f(x)y = f(x) 与 xx 轴正半轴的交点为 PP，曲线在点 PP 处的切线方程为 y=g(x)y = g(x). 求证：对于任意的实数 xx，都有 f(x)⩽g(x)f(x) \leqslant g(x)； (3) 若方程 f(x)=af(x) = a （aa 为实数） 有两个正实数根 x1x_1，x2x_2，且 x1<x2x_1 < x_2，求证：x2−x1⩽−a3+413x_2 - x_1 \leqslant -\frac{a}{3} + 4^{\frac{1}{3}}.

2015 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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