设椭圆 $C_{1}:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$），抛物线 $C_{2}:x^{2}+by=b^{2}$.

(1) 若 $C_{2}$ 经过 $C_{1}$ 的两个焦点，求 $C_{1}$ 的离心率； (2) 设 $A(0,b)$，$Q\!\left(3\sqrt{3}, \frac{5}{4}b\right)$，又 $M$，$N$ 为 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 不在 $y$ 轴上的两个交点，若 $\triangle AMN$ 的垂心为 $B\!\left(0,\frac{3}{4}b\right)$，且 $\triangle QMN$ 的重心在 $C_{2}$ 上，求椭圆 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2}$ 的方程.

证明以下命题：

(1) 对任一正整数 $a$，都存在正整数 $b$，$c$（$b<c$），使得 $a^{2}$，$b^{2}$，$c^{2}$ 成等差数列； (2) 存在无穷多个互不相似的三角形 $\Delta_{n}$，其边长 $a_{n}$，$b_{n}$，$c_{n}$ 为正整数且 $a_{n}^{2}$，$b_{n}^{2}$，$c_{n}^{2}$ 成等差数列.