已知 $p$，$q$ 是实数，$\alpha$，$\beta$ 为方程 $x^2 - px + q = 0$ 的两个实根，数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1 = p$，$x_2 = p^2 - q$，$x_n = px_{n-1} - qx_{n-2}$（$n = 3$，$4$，$\cdots$）.

(1) 证明：$\alpha + \beta = p$，$\alpha \beta = q$； (2) 求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式； (3) 若 $p = 1$，$q = \frac{1}{4}$，求 $\{x_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.